Integral de x(3x²+17)⁴ dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x^{2} + 17$.

      Luego que $du = 6 x dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

      $\int \frac{u^{4}}{6}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{6}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{30}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x^{2} + 17\right)^{5}}{30}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(3 x^{2} + 17\right)^{4} = 81 x^{9} + 1836 x^{7} + 15606 x^{5} + 58956 x^{3} + 83521 x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 81 x^{9}\, dx = 81 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{81 x^{10}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1836 x^{7}\, dx = 1836 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{459 x^{8}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 15606 x^{5}\, dx = 15606 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2601 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 58956 x^{3}\, dx = 58956 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $14739 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 83521 x\, dx = 83521 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{83521 x^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{81 x^{10}}{10} + \frac{459 x^{8}}{2} + 2601 x^{6} + 14739 x^{4} + \frac{83521 x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(3 x^{2} + 17\right)^{5}}{30}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 x^{2} + 17\right)^{5}}{30}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x^{2} + 17\right)^{5}}{30}+ \mathrm{constant}$