Integral de x^4+4x(x/5-3/5)^3+(6x^2*(x/5-3/5)^2-5(x/5-3/5)^4)/5 dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $4 x \left(\frac{x}{5} - \frac{3}{5}\right)^{3} = \frac{4 x^{4}}{125} - \frac{36 x^{3}}{125} + \frac{108 x^{2}}{125} - \frac{108 x}{125}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{4 x^{4}}{125}\, dx = \frac{4 \int x^{4}\, dx}{125}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{5}}{625}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{36 x^{3}}{125}\right)\, dx = - \frac{36 \int x^{3}\, dx}{125}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 x^{4}}{125}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{108 x^{2}}{125}\, dx = \frac{108 \int x^{2}\, dx}{125}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{36 x^{3}}{125}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{108 x}{125}\right)\, dx = - \frac{108 \int x\, dx}{125}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{54 x^{2}}{125}$

         El resultado es: $\frac{4 x^{5}}{625} - \frac{9 x^{4}}{125} + \frac{36 x^{3}}{125} - \frac{54 x^{2}}{125}$

      El resultado es: $\frac{129 x^{5}}{625} - \frac{9 x^{4}}{125} + \frac{36 x^{3}}{125} - \frac{54 x^{2}}{125}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{6 x^{2} \left(\frac{x}{5} - \frac{3}{5}\right)^{2} - 5 \left(\frac{x}{5} - \frac{3}{5}\right)^{4}}{5}\, dx = \frac{\int \left(6 x^{2} \left(\frac{x}{5} - \frac{3}{5}\right)^{2} - 5 \left(\frac{x}{5} - \frac{3}{5}\right)^{4}\right)\, dx}{5}$

      1. Integramos término a término:

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $6 x^{2} \left(\frac{x}{5} - \frac{3}{5}\right)^{2} = \frac{6 x^{4}}{25} - \frac{36 x^{3}}{25} + \frac{54 x^{2}}{25}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{6 x^{4}}{25}\, dx = \frac{6 \int x^{4}\, dx}{25}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 x^{5}}{125}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{36 x^{3}}{25}\right)\, dx = - \frac{36 \int x^{3}\, dx}{25}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 x^{4}}{25}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{54 x^{2}}{25}\, dx = \frac{54 \int x^{2}\, dx}{25}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{18 x^{3}}{25}$

            El resultado es: $\frac{6 x^{5}}{125} - \frac{9 x^{4}}{25} + \frac{18 x^{3}}{25}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 5 \left(\frac{x}{5} - \frac{3}{5}\right)^{4}\right)\, dx = - 5 \int \left(\frac{x}{5} - \frac{3}{5}\right)^{4}\, dx$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = \frac{x}{5} - \frac{3}{5}$.

                  Luego que $du = \frac{dx}{5}$ y ponemos $5 du$:

                  $\int 5 u^{4}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{4}\, du = 5 \int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $u^{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\left(\frac{x}{5} - \frac{3}{5}\right)^{5}$

               Método #2

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(\frac{x}{5} - \frac{3}{5}\right)^{4} = \frac{x^{4}}{625} - \frac{12 x^{3}}{625} + \frac{54 x^{2}}{625} - \frac{108 x}{625} + \frac{81}{625}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{x^{4}}{625}\, dx = \frac{\int x^{4}\, dx}{625}$

                     1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{5}}{3125}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{12 x^{3}}{625}\right)\, dx = - \frac{12 \int x^{3}\, dx}{625}$

                     1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{4}}{625}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{54 x^{2}}{625}\, dx = \frac{54 \int x^{2}\, dx}{625}$

                     1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{18 x^{3}}{625}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{108 x}{625}\right)\, dx = - \frac{108 \int x\, dx}{625}$

                     1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{54 x^{2}}{625}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{81}{625}\, dx = \frac{81 x}{625}$

                  El resultado es: $\frac{x^{5}}{3125} - \frac{3 x^{4}}{625} + \frac{18 x^{3}}{625} - \frac{54 x^{2}}{625} + \frac{81 x}{625}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \left(\frac{x}{5} - \frac{3}{5}\right)^{5}$

         El resultado es: $\frac{6 x^{5}}{125} - \frac{9 x^{4}}{25} + \frac{18 x^{3}}{25} - 5 \left(\frac{x}{5} - \frac{3}{5}\right)^{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 x^{5}}{625} - \frac{9 x^{4}}{125} + \frac{18 x^{3}}{125} - \left(\frac{x}{5} - \frac{3}{5}\right)^{5}$

   El resultado es: $\frac{27 x^{5}}{125} - \frac{18 x^{4}}{125} + \frac{54 x^{3}}{125} - \frac{54 x^{2}}{125} - \left(\frac{x}{5} - \frac{3}{5}\right)^{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{27 x^{5}}{125} - \frac{18 x^{4}}{125} + \frac{54 x^{3}}{125} - \frac{54 x^{2}}{125} - \frac{\left(x - 3\right)^{5}}{3125}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{27 x^{5}}{125} - \frac{18 x^{4}}{125} + \frac{54 x^{3}}{125} - \frac{54 x^{2}}{125} - \frac{\left(x - 3\right)^{5}}{3125}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{27 x^{5}}{125} - \frac{18 x^{4}}{125} + \frac{54 x^{3}}{125} - \frac{54 x^{2}}{125} - \frac{\left(x - 3\right)^{5}}{3125}+ \mathrm{constant}$