Integral de x(x+2)^10 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(x + 2\right)^{10} = x^{11} + 20 x^{10} + 180 x^{9} + 960 x^{8} + 3360 x^{7} + 8064 x^{6} + 13440 x^{5} + 15360 x^{4} + 11520 x^{3} + 5120 x^{2} + 1024 x$

2. Integramos término a término:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 20 x^{10}\, dx = 20 \int x^{10}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{20 x^{11}}{11}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 180 x^{9}\, dx = 180 \int x^{9}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

      Por lo tanto, el resultado es: $18 x^{10}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 960 x^{8}\, dx = 960 \int x^{8}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{320 x^{9}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3360 x^{7}\, dx = 3360 \int x^{7}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Por lo tanto, el resultado es: $420 x^{8}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 8064 x^{6}\, dx = 8064 \int x^{6}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $1152 x^{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 13440 x^{5}\, dx = 13440 \int x^{5}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2240 x^{6}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 15360 x^{4}\, dx = 15360 \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $3072 x^{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 11520 x^{3}\, dx = 11520 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2880 x^{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 5120 x^{2}\, dx = 5120 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5120 x^{3}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1024 x\, dx = 1024 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $512 x^{2}$

   El resultado es: $\frac{x^{12}}{12} + \frac{20 x^{11}}{11} + 18 x^{10} + \frac{320 x^{9}}{3} + 420 x^{8} + 1152 x^{7} + 2240 x^{6} + 3072 x^{5} + 2880 x^{4} + \frac{5120 x^{3}}{3} + 512 x^{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(11 x^{10} + 240 x^{9} + 2376 x^{8} + 14080 x^{7} + 55440 x^{6} + 152064 x^{5} + 295680 x^{4} + 405504 x^{3} + 380160 x^{2} + 225280 x + 67584\right)}{132}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(11 x^{10} + 240 x^{9} + 2376 x^{8} + 14080 x^{7} + 55440 x^{6} + 152064 x^{5} + 295680 x^{4} + 405504 x^{3} + 380160 x^{2} + 225280 x + 67584\right)}{132}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(11 x^{10} + 240 x^{9} + 2376 x^{8} + 14080 x^{7} + 55440 x^{6} + 152064 x^{5} + 295680 x^{4} + 405504 x^{3} + 380160 x^{2} + 225280 x + 67584\right)}{132}+ \mathrm{constant}$