Sr Examen
Integral de 2*dt/cos(2*t) dx
Solución
Ha introducido
[src]
pi -- 4 / | | 2 | -------- dt | cos(2*t) | / 0
$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2}{\cos{\left(2 t \right)}}\, dt$$
Integral(2/cos(2*t), (t, 0, pi/4))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 2 | -------- dt | cos(2*t) | /
La función subintegral
2 -------- cos(2*t)
Multiplicamos numerador y denominador por
cos(2*t)
obtendremos
2 2*cos(2*t)
-------- = ----------
cos(2*t) 2
cos (2*t) Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
2 2 cos (2*t) = 1 - sin (2*t)
cambiamos denominador
2*cos(2*t) 2*cos(2*t) ---------- = ------------- 2 2 cos (2*t) 1 - sin (2*t)
hacemos el cambio
u = sin(2*t)
entonces integral
/ | | 2*cos(2*t) | ------------- dt | 2 = | 1 - sin (2*t) | /
/ | | 2*cos(2*t) | ------------- dt | 2 = | 1 - sin (2*t) | /
Como du = 2*dt*cos(2*t)
/ | | 1 | ------ du | 2 | 1 - u | /
Reescribimos la función subintegral
/2\
|-|
1 \2/ / 1 1 \
------ = ---*|----- + -----|
2 2 \1 - u 1 + u/
1 - u entonces
/ /
| |
| 1 | 1
| ----- du | ----- du
/ | 1 + u | 1 - u
| | |
| 1 / / =
| ------ du = ----------- + -----------
| 2 2 2
| 1 - u
|
/
= log(1 + u)/2 - log(-1 + u)/2
hacemos cambio inverso
u = sin(2*t)
Respuesta
/ | | 2 log(1 + sin(2*t)) log(-1 + sin(2*t)) | -------- dt = ----------------- - ------------------ + C0 | cos(2*t) 2 2 | /
donde C0 es la constante que no depende de t
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | | 2 log(1 + sin(2*t)) log(-1 + sin(2*t)) | -------- dt = C + ----------------- - ------------------ | cos(2*t) 2 2 | /
$$\int \frac{2}{\cos{\left(2 t \right)}}\, dt = C - \frac{\log{\left(\sin{\left(2 t \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(2 t \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
pi*I
oo + ----
2
$$\infty + \frac{i \pi}{2}$$
=
=
pi*I
oo + ----
2
$$\infty + \frac{i \pi}{2}$$
oo + pi*i/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.