Integral de (x+1)log2(x) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1                  
  /                  
 |                   
 |          log(x)   
 |  (x + 1)*------ dx
 |          log(2)   
 |                   
/                    
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(x + 1\right)\, dx$$

Integral((x + 1)*(log(x)/log(2)), (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \log{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $\frac{du}{\log{\left(2 \right)}}$ :
  
  $\int \frac{u e^{2 u} + u e^{u}}{\log{\left(2 \right)}}\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(u e^{2 u} + u e^{u}\right)\, du = \frac{\int \left(u e^{2 u} + u e^{u}\right)\, du}{\log{\left(2 \right)}}$
    1. Integramos término a término:
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      El resultado es: $\frac{u e^{2 u}}{2} + u e^{u} - \frac{e^{2 u}}{4} - e^{u}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{u e^{2 u}}{2} + u e^{u} - \frac{e^{2 u}}{4} - e^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x}{\log{\left(2 \right)}}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(x + 1\right) = \frac{x \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$
2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \frac{x \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\, dx = \frac{\int \left(x \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}\right)\, dx}{\log{\left(2 \right)}}$
  1. Integramos término a término:
    1. que $u = \log{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u e^{2 u}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, dx = x$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, dx = x$
    El resultado es: $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x$
  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x}{\log{\left(2 \right)}}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(x + 1\right) = \frac{x \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{x \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\, dx = \frac{\int x \log{\left(x \right)}\, dx}{\log{\left(2 \right)}}$
    1. que $u = \log{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u e^{2 u}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}}{\log{\left(2 \right)}}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\, dx = \frac{\int \log{\left(x \right)}\, dx}{\log{\left(2 \right)}}$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$ .
      
      Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, dx = x$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, dx = x$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x \log{\left(x \right)} - x}{\log{\left(2 \right)}}$
  El resultado es: $\frac{x \log{\left(x \right)} - x}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}}{\log{\left(2 \right)}}$
Ahora simplificar:

$\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 4 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{4 \log{\left(2 \right)}}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 4 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{4 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 4 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{4 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                                 2               2       
  /                             x               x *log(x)
 |                         -x - -- + x*log(x) + ---------
 |         log(x)               4                   2    
 | (x + 1)*------ dx = C + ------------------------------
 |         log(2)                      log(2)            
 |                                                       
/

$$\int \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(x + 1\right)\, dx = C + \frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x}{\log{\left(2 \right)}}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

  -5    
--------
4*log(2)

$$- \frac{5}{4 \log{\left(2 \right)}}$$

  -5    
--------
4*log(2)

$$- \frac{5}{4 \log{\left(2 \right)}}$$

-5/(4*log(2))

Respuesta numérica [src]

-1.8033688011112

-1.8033688011112

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Integral de (x+1)log2(x) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3