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Resolución de integrales/ log2(x)/ (x+1)/ (x+1)log2(x)

Integral de (x+1)log2(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |          log(x)   
 |  (x + 1)*------ dx
 |          log(2)   
 |                   
/                    
0
∫01log⁡(x)log⁡(2)(x+1) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(x + 1\right)\, dx 
Integral((x + 1)*(log(x)/log(2)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dulog⁡(2)\frac{du}{\log{\left(2 \right)}}:

      ∫ue2u+ueulog⁡(2) du\int \frac{u e^{2 u} + u e^{u}}{\log{\left(2 \right)}}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(ue2u+ueu) du=∫(ue2u+ueu) dulog⁡(2)\int \left(u e^{2 u} + u e^{u}\right)\, du = \frac{\int \left(u e^{2 u} + u e^{u}\right)\, du}{\log{\left(2 \right)}}

        1. Integramos término a término:

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          El resultado es: ue2u2+ueu−e2u4−eu\frac{u e^{2 u}}{2} + u e^{u} - \frac{e^{2 u}}{4} - e^{u}

        Por lo tanto, el resultado es: ue2u2+ueu−e2u4−eulog⁡(2)\frac{\frac{u e^{2 u}}{2} + u e^{u} - \frac{e^{2 u}}{4} - e^{u}}{\log{\left(2 \right)}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x2log⁡(x)2−x24+xlog⁡(x)−xlog⁡(2)\frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x}{\log{\left(2 \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(x)log⁡(2)(x+1)=xlog⁡(x)+log⁡(x)log⁡(2)\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(x + 1\right) = \frac{x \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫xlog⁡(x)+log⁡(x)log⁡(2) dx=∫(xlog⁡(x)+log⁡(x)) dxlog⁡(2)\int \frac{x \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\, dx = \frac{\int \left(x \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}\right)\, dx}{\log{\left(2 \right)}}

      1. Integramos término a término:

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        El resultado es: x2log⁡(x)2−x24+xlog⁡(x)−x\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x

      Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(x)2−x24+xlog⁡(x)−xlog⁡(2)\frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x}{\log{\left(2 \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(x)log⁡(2)(x+1)=xlog⁡(x)log⁡(2)+log⁡(x)log⁡(2)\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(x + 1\right) = \frac{x \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xlog⁡(x)log⁡(2) dx=∫xlog⁡(x) dxlog⁡(2)\int \frac{x \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\, dx = \frac{\int x \log{\left(x \right)}\, dx}{\log{\left(2 \right)}}

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(x)2−x24log⁡(2)\frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}}{\log{\left(2 \right)}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫log⁡(x)log⁡(2) dx=∫log⁡(x) dxlog⁡(2)\int \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\, dx = \frac{\int \log{\left(x \right)}\, dx}{\log{\left(2 \right)}}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: xlog⁡(x)−xlog⁡(2)\frac{x \log{\left(x \right)} - x}{\log{\left(2 \right)}}

      El resultado es: xlog⁡(x)−xlog⁡(2)+x2log⁡(x)2−x24log⁡(2)\frac{x \log{\left(x \right)} - x}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}}{\log{\left(2 \right)}}

  2. Ahora simplificar:

    x(2xlog⁡(x)−x+4log⁡(x)−4)4log⁡(2)\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 4 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{4 \log{\left(2 \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(2xlog⁡(x)−x+4log⁡(x)−4)4log⁡(2)+constant\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 4 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{4 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(2xlog⁡(x)−x+4log⁡(x)−4)4log⁡(2)+constant\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 4 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{4 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                 2               2       
  /                             x               x *log(x)
 |                         -x - -- + x*log(x) + ---------
 |         log(x)               4                   2    
 | (x + 1)*------ dx = C + ------------------------------
 |         log(2)                      log(2)            
 |                                                       
/
∫log⁡(x)log⁡(2)(x+1) dx=C+x2log⁡(x)2−x24+xlog⁡(x)−xlog⁡(2)\int \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(x + 1\right)\, dx = C + \frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x}{\log{\left(2 \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  -5    
--------
4*log(2)
−54log⁡(2)- \frac{5}{4 \log{\left(2 \right)}} 
=
= 
  -5    
--------
4*log(2)
−54log⁡(2)- \frac{5}{4 \log{\left(2 \right)}} 
-5/(4*log(2))
Respuesta numérica [src] 
-1.8033688011112
-1.8033688011112

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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