Integral de (x+1)log2(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $\frac{du}{\log{\left(2 \right)}}$:

      $\int \frac{u e^{2 u} + u e^{u}}{\log{\left(2 \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(u e^{2 u} + u e^{u}\right)\, du = \frac{\int \left(u e^{2 u} + u e^{u}\right)\, du}{\log{\left(2 \right)}}$

         1. Integramos término a término:

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            El resultado es: $\frac{u e^{2 u}}{2} + u e^{u} - \frac{e^{2 u}}{4} - e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{u e^{2 u}}{2} + u e^{u} - \frac{e^{2 u}}{4} - e^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x}{\log{\left(2 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(x + 1\right) = \frac{x \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\, dx = \frac{\int \left(x \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}\right)\, dx}{\log{\left(2 \right)}}$

      1. Integramos término a término:

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{2 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x}{\log{\left(2 \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(x + 1\right) = \frac{x \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\, dx = \frac{\int x \log{\left(x \right)}\, dx}{\log{\left(2 \right)}}$

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{2 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}}{\log{\left(2 \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\, dx = \frac{\int \log{\left(x \right)}\, dx}{\log{\left(2 \right)}}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x \log{\left(x \right)} - x}{\log{\left(2 \right)}}$

      El resultado es: $\frac{x \log{\left(x \right)} - x}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}}{\log{\left(2 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 4 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{4 \log{\left(2 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 4 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{4 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 4 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{4 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$