Integral de xsinxcos2x dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |                      
 |  x*sin(x)*cos(2*x) dx
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0

$$\int\limits_{0}^{1} x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$$

Integral((x*sin(x))*cos(2*x), (x, 0, 1))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du$
      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$
        
        Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx$
    1. La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\cos{\left(x \right)}$
  El resultado es: $- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}$
Ahora resolvemos podintegral.
Integramos término a término:
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx}{3}$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$
  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.
    Método #1
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
    Método #2
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
    Método #3
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{3}$
1. La integral del coseno es seno:
  
  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
El resultado es: $\frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{3}$
Ahora simplificar:

$- \frac{2 x \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + x \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{3}$
Añadimos la constante de integración:

$- \frac{2 x \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + x \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 x \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + x \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                3                 /       3            \
 |                            2*sin (x)   sin(x)     |  2*cos (x)         |
 | x*sin(x)*cos(2*x) dx = C - --------- - ------ + x*|- --------- + cos(x)|
 |                                9         3        \      3             /
/

$$\int x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = C + x \left(- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}\right) - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{3}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

  4*cos(1)*sin(2)   cos(1)*cos(2)   2*sin(1)*sin(2)   5*cos(2)*sin(1)
- --------------- + ------------- + --------------- + ---------------
         9                3                3                 9

$$- \frac{4 \sin{\left(2 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{9} + \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(1 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{3} + \frac{2 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(2 \right)}}{3}$$

  4*cos(1)*sin(2)   cos(1)*cos(2)   2*sin(1)*sin(2)   5*cos(2)*sin(1)
- --------------- + ------------- + --------------- + ---------------
         9                3                3                 9

-4*cos(1)*sin(2)/9 + cos(1)*cos(2)/3 + 2*sin(1)*sin(2)/3 + 5*cos(2)*sin(1)/9

Respuesta numérica [src]

0.0222544104112996

0.0222544104112996

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de xsinxcos2x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3

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Integral de x*sinx*cos2x dx

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