Integral de (3x^(1/2)-1)^2/(x^(1/2)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 \sqrt{x} - 1$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

      $\int \frac{2 u^{2}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = \frac{2 \int u^{2}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(3 \sqrt{x} - 1\right)^{3}}{9}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(3 \sqrt{x} - 1\right)^{2}}{\sqrt{x}} = \frac{- 6 \sqrt{x} + 9 x + 1}{\sqrt{x}}$

   2. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{2 u^{2} - 12 u + 18}{u^{4}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 u^{2} - 12 u + 18}{u^{4}}\, du = - \int \frac{2 u^{2} - 12 u + 18}{u^{4}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{2 u^{2} - 12 u + 18}{u^{4}} = \frac{2}{u^{2}} - \frac{12}{u^{3}} + \frac{18}{u^{4}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{12}{u^{3}}\right)\, du = - 12 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6}{u^{2}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{18}{u^{4}}\, du = 18 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6}{u^{3}}$

            El resultado es: $- \frac{2}{u} + \frac{6}{u^{2}} - \frac{6}{u^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u} - \frac{6}{u^{2}} + \frac{6}{u^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $6 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} - 6 x$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(3 \sqrt{x} - 1\right)^{2}}{\sqrt{x}} = 9 \sqrt{x} - 6 + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 \sqrt{x}\, dx = 9 \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 x^{\frac{3}{2}}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-6\right)\, dx = - 6 x$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $6 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} - 6 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(3 \sqrt{x} - 1\right)^{3}}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(3 \sqrt{x} - 1\right)^{3}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(3 \sqrt{x} - 1\right)^{3}}{9}+ \mathrm{constant}$