Integral de (x^4-5x^2-6x)^4(4x^3-10x-6)dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - 6 x + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right)$.

      Luego que $du = \left(4 x^{3} - 10 x - 6\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(- 6 x + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right)\right)^{5}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(- 6 x + \left(x^{4} - 5 x^{2}\right)\right)^{4} \left(\left(4 x^{3} - 10 x\right) - 6\right) = 4 x^{19} - 90 x^{17} - 102 x^{16} + 800 x^{15} + 1800 x^{14} - 2492 x^{13} - 11700 x^{12} - 5460 x^{11} + 28248 x^{10} + 47750 x^{9} + 5130 x^{8} - 61632 x^{7} - 75600 x^{6} - 38880 x^{5} - 7776 x^{4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{19}\, dx = 4 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{20}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 90 x^{17}\right)\, dx = - 90 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 5 x^{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 102 x^{16}\right)\, dx = - 102 \int x^{16}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6 x^{17}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 800 x^{15}\, dx = 800 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $50 x^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1800 x^{14}\, dx = 1800 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $120 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2492 x^{13}\right)\, dx = - 2492 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 178 x^{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 11700 x^{12}\right)\, dx = - 11700 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 900 x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5460 x^{11}\right)\, dx = - 5460 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 455 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 28248 x^{10}\, dx = 28248 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2568 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 47750 x^{9}\, dx = 47750 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4775 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5130 x^{8}\, dx = 5130 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $570 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 61632 x^{7}\right)\, dx = - 61632 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 7704 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 75600 x^{6}\right)\, dx = - 75600 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 10800 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 38880 x^{5}\right)\, dx = - 38880 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6480 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 7776 x^{4}\right)\, dx = - 7776 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7776 x^{5}}{5}$

      El resultado es: $\frac{x^{20}}{5} - 5 x^{18} - 6 x^{17} + 50 x^{16} + 120 x^{15} - 178 x^{14} - 900 x^{13} - 455 x^{12} + 2568 x^{11} + 4775 x^{10} + 570 x^{9} - 7704 x^{8} - 10800 x^{7} - 6480 x^{6} - \frac{7776 x^{5}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x^{5} \left(- x^{3} + 5 x + 6\right)^{5}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{5} \left(- x^{3} + 5 x + 6\right)^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{5} \left(- x^{3} + 5 x + 6\right)^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$