Integral de e^(2x)+2^(-2x+2) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 - 2 x$.

         Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{2^{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2^{u}\, du = - \frac{\int 2^{u}\, du}{2}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{u}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2^{2 - 2 x}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $2^{2 - 2 x} = 4 \cdot 2^{- 2 x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \cdot 2^{- 2 x}\, dx = 4 \int 2^{- 2 x}\, dx$

         1. que $u = - 2 x$.

            Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{2^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2^{u}\, du = - \frac{\int 2^{u}\, du}{2}$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{u}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2^{- 2 x}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \cdot 2^{- 2 x}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $2^{2 - 2 x} = 4 \cdot 2^{- 2 x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \cdot 2^{- 2 x}\, dx = 4 \int 2^{- 2 x}\, dx$

         1. que $u = - 2 x$.

            Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{2^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2^{u}\, du = - \frac{\int 2^{u}\, du}{2}$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{u}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2^{- 2 x}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \cdot 2^{- 2 x}}{\log{\left(2 \right)}}$

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{2 x}}{2}$

   El resultado es: $- \frac{2^{2 - 2 x}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{e^{2 x}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{e^{2 x}}{2} - \frac{2 \cdot 2^{- 2 x}}{\log{\left(2 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{e^{2 x}}{2} - \frac{2 \cdot 2^{- 2 x}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{e^{2 x}}{2} - \frac{2 \cdot 2^{- 2 x}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$