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Resolución de integrales/ (6-x)/ (6-x)cos13x

Integral de (6-x)cos13x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
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 |  (6 - x)*cos(13*x) dx
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0
∫01(6−x)cos⁡(13x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(6 - x\right) \cos{\left(13 x \right)}\, dx 
Integral((6 - x)*cos(13*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

      ∫(−ucos⁡(13u)−6cos⁡(13u)) du\int \left(- u \cos{\left(13 u \right)} - 6 \cos{\left(13 u \right)}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−ucos⁡(13u)) du=−∫ucos⁡(13u) du\int \left(- u \cos{\left(13 u \right)}\right)\, du = - \int u \cos{\left(13 u \right)}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=cos⁡(13u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(13 u \right)}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=13uu = 13 u.

              Luego que du=13dudu = 13 du y ponemos du13\frac{du}{13}:

              ∫cos⁡(u)13 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{13}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du13\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{13}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)13\frac{\sin{\left(u \right)}}{13}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(13u)13\frac{\sin{\left(13 u \right)}}{13}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(13u)13 du=∫sin⁡(13u) du13\int \frac{\sin{\left(13 u \right)}}{13}\, du = \frac{\int \sin{\left(13 u \right)}\, du}{13}

            1. que u=13uu = 13 u.

              Luego que du=13dudu = 13 du y ponemos du13\frac{du}{13}:

              ∫sin⁡(u)13 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{13}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du13\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{13}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)13- \frac{\cos{\left(u \right)}}{13}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(13u)13- \frac{\cos{\left(13 u \right)}}{13}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(13u)169- \frac{\cos{\left(13 u \right)}}{169}

          Por lo tanto, el resultado es: −usin⁡(13u)13−cos⁡(13u)169- \frac{u \sin{\left(13 u \right)}}{13} - \frac{\cos{\left(13 u \right)}}{169}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−6cos⁡(13u)) du=−6∫cos⁡(13u) du\int \left(- 6 \cos{\left(13 u \right)}\right)\, du = - 6 \int \cos{\left(13 u \right)}\, du

          1. que u=13uu = 13 u.

            Luego que du=13dudu = 13 du y ponemos du13\frac{du}{13}:

            ∫cos⁡(u)13 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{13}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du13\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{13}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)13\frac{\sin{\left(u \right)}}{13}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(13u)13\frac{\sin{\left(13 u \right)}}{13}

          Por lo tanto, el resultado es: −6sin⁡(13u)13- \frac{6 \sin{\left(13 u \right)}}{13}

        El resultado es: −usin⁡(13u)13−6sin⁡(13u)13−cos⁡(13u)169- \frac{u \sin{\left(13 u \right)}}{13} - \frac{6 \sin{\left(13 u \right)}}{13} - \frac{\cos{\left(13 u \right)}}{169}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −xsin⁡(13x)13+6sin⁡(13x)13−cos⁡(13x)169- \frac{x \sin{\left(13 x \right)}}{13} + \frac{6 \sin{\left(13 x \right)}}{13} - \frac{\cos{\left(13 x \right)}}{169}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (6−x)cos⁡(13x)=−xcos⁡(13x)+6cos⁡(13x)\left(6 - x\right) \cos{\left(13 x \right)} = - x \cos{\left(13 x \right)} + 6 \cos{\left(13 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xcos⁡(13x)) dx=−∫xcos⁡(13x) dx\int \left(- x \cos{\left(13 x \right)}\right)\, dx = - \int x \cos{\left(13 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(13x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(13 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=13xu = 13 x.

            Luego que du=13dxdu = 13 dx y ponemos du13\frac{du}{13}:

            ∫cos⁡(u)13 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{13}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du13\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{13}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)13\frac{\sin{\left(u \right)}}{13}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(13x)13\frac{\sin{\left(13 x \right)}}{13}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(13x)13 dx=∫sin⁡(13x) dx13\int \frac{\sin{\left(13 x \right)}}{13}\, dx = \frac{\int \sin{\left(13 x \right)}\, dx}{13}

          1. que u=13xu = 13 x.

            Luego que du=13dxdu = 13 dx y ponemos du13\frac{du}{13}:

            ∫sin⁡(u)13 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{13}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du13\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{13}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)13- \frac{\cos{\left(u \right)}}{13}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(13x)13- \frac{\cos{\left(13 x \right)}}{13}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(13x)169- \frac{\cos{\left(13 x \right)}}{169}

        Por lo tanto, el resultado es: −xsin⁡(13x)13−cos⁡(13x)169- \frac{x \sin{\left(13 x \right)}}{13} - \frac{\cos{\left(13 x \right)}}{169}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6cos⁡(13x) dx=6∫cos⁡(13x) dx\int 6 \cos{\left(13 x \right)}\, dx = 6 \int \cos{\left(13 x \right)}\, dx

        1. que u=13xu = 13 x.

          Luego que du=13dxdu = 13 dx y ponemos du13\frac{du}{13}:

          ∫cos⁡(u)13 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{13}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du13\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{13}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)13\frac{\sin{\left(u \right)}}{13}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(13x)13\frac{\sin{\left(13 x \right)}}{13}

        Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(13x)13\frac{6 \sin{\left(13 x \right)}}{13}

      El resultado es: −xsin⁡(13x)13+6sin⁡(13x)13−cos⁡(13x)169- \frac{x \sin{\left(13 x \right)}}{13} + \frac{6 \sin{\left(13 x \right)}}{13} - \frac{\cos{\left(13 x \right)}}{169}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=6−xu{\left(x \right)} = 6 - x y que dv⁡(x)=cos⁡(13x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(13 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−1\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=13xu = 13 x.

        Luego que du=13dxdu = 13 dx y ponemos du13\frac{du}{13}:

        ∫cos⁡(u)13 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{13}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du13\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{13}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)13\frac{\sin{\left(u \right)}}{13}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(13x)13\frac{\sin{\left(13 x \right)}}{13}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡(13x)13) dx=−∫sin⁡(13x) dx13\int \left(- \frac{\sin{\left(13 x \right)}}{13}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(13 x \right)}\, dx}{13}

      1. que u=13xu = 13 x.

        Luego que du=13dxdu = 13 dx y ponemos du13\frac{du}{13}:

        ∫sin⁡(u)13 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{13}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du13\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{13}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)13- \frac{\cos{\left(u \right)}}{13}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(13x)13- \frac{\cos{\left(13 x \right)}}{13}

      Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(13x)169\frac{\cos{\left(13 x \right)}}{169}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (6−x)cos⁡(13x)=−xcos⁡(13x)+6cos⁡(13x)\left(6 - x\right) \cos{\left(13 x \right)} = - x \cos{\left(13 x \right)} + 6 \cos{\left(13 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xcos⁡(13x)) dx=−∫xcos⁡(13x) dx\int \left(- x \cos{\left(13 x \right)}\right)\, dx = - \int x \cos{\left(13 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(13x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(13 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=13xu = 13 x.

            Luego que du=13dxdu = 13 dx y ponemos du13\frac{du}{13}:

            ∫cos⁡(u)13 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{13}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du13\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{13}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)13\frac{\sin{\left(u \right)}}{13}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(13x)13\frac{\sin{\left(13 x \right)}}{13}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(13x)13 dx=∫sin⁡(13x) dx13\int \frac{\sin{\left(13 x \right)}}{13}\, dx = \frac{\int \sin{\left(13 x \right)}\, dx}{13}

          1. que u=13xu = 13 x.

            Luego que du=13dxdu = 13 dx y ponemos du13\frac{du}{13}:

            ∫sin⁡(u)13 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{13}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du13\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{13}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)13- \frac{\cos{\left(u \right)}}{13}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(13x)13- \frac{\cos{\left(13 x \right)}}{13}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(13x)169- \frac{\cos{\left(13 x \right)}}{169}

        Por lo tanto, el resultado es: −xsin⁡(13x)13−cos⁡(13x)169- \frac{x \sin{\left(13 x \right)}}{13} - \frac{\cos{\left(13 x \right)}}{169}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6cos⁡(13x) dx=6∫cos⁡(13x) dx\int 6 \cos{\left(13 x \right)}\, dx = 6 \int \cos{\left(13 x \right)}\, dx

        1. que u=13xu = 13 x.

          Luego que du=13dxdu = 13 dx y ponemos du13\frac{du}{13}:

          ∫cos⁡(u)13 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{13}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du13\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{13}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)13\frac{\sin{\left(u \right)}}{13}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(13x)13\frac{\sin{\left(13 x \right)}}{13}

        Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(13x)13\frac{6 \sin{\left(13 x \right)}}{13}

      El resultado es: −xsin⁡(13x)13+6sin⁡(13x)13−cos⁡(13x)169- \frac{x \sin{\left(13 x \right)}}{13} + \frac{6 \sin{\left(13 x \right)}}{13} - \frac{\cos{\left(13 x \right)}}{169}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −xsin⁡(13x)13+6sin⁡(13x)13−cos⁡(13x)169+constant- \frac{x \sin{\left(13 x \right)}}{13} + \frac{6 \sin{\left(13 x \right)}}{13} - \frac{\cos{\left(13 x \right)}}{169}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xsin⁡(13x)13+6sin⁡(13x)13−cos⁡(13x)169+constant- \frac{x \sin{\left(13 x \right)}}{13} + \frac{6 \sin{\left(13 x \right)}}{13} - \frac{\cos{\left(13 x \right)}}{169}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                
 |                            cos(13*x)   6*sin(13*x)   x*sin(13*x)
 | (6 - x)*cos(13*x) dx = C - --------- + ----------- - -----------
 |                               169           13            13    
/
∫(6−x)cos⁡(13x) dx=C−xsin⁡(13x)13+6sin⁡(13x)13−cos⁡(13x)169\int \left(6 - x\right) \cos{\left(13 x \right)}\, dx = C - \frac{x \sin{\left(13 x \right)}}{13} + \frac{6 \sin{\left(13 x \right)}}{13} - \frac{\cos{\left(13 x \right)}}{169}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
 1    cos(13)   5*sin(13)
--- - ------- + ---------
169     169         13
−cos⁡(13)169+1169+5sin⁡(13)13- \frac{\cos{\left(13 \right)}}{169} + \frac{1}{169} + \frac{5 \sin{\left(13 \right)}}{13} 
=
= 
 1    cos(13)   5*sin(13)
--- - ------- + ---------
169     169         13
−cos⁡(13)169+1169+5sin⁡(13)13- \frac{\cos{\left(13 \right)}}{169} + \frac{1}{169} + \frac{5 \sin{\left(13 \right)}}{13} 
1/169 - cos(13)/169 + 5*sin(13)/13
Respuesta numérica [src] 
0.162150358652553
0.162150358652553

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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