Integral de 1/(x-3*x^3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{- 3 x^{3} + x} = - \frac{3 x}{3 x^{2} - 1} + \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3 x}{3 x^{2} - 1}\right)\, dx = - 3 \int \frac{x}{3 x^{2} - 1}\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x}{3 x^{2} - 1}\, dx = \frac{\int \frac{6 x}{3 x^{2} - 1}\, dx}{6}$

            1. que $u = 3 x^{2} - 1$.

               Luego que $du = 6 x dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

               $\int \frac{1}{6 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{2}$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      El resultado es: $\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{- 3 x^{3} + x} = - \frac{1}{3 x^{3} - x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{3 x^{3} - x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{3 x^{3} - x}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{3 x^{3} - x} = \frac{3 x}{3 x^{2} - 1} - \frac{1}{x}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 x}{3 x^{2} - 1}\, dx = 3 \int \frac{x}{3 x^{2} - 1}\, dx$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x}{3 x^{2} - 1}\, dx = \frac{\int \frac{6 x}{3 x^{2} - 1}\, dx}{6}$

               1. que $u = 3 x^{2} - 1$.

                  Luego que $du = 6 x dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

                  $\int \frac{1}{6 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)}$

         El resultado es: $- \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$