Integral de (5x-6)/(2x+3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 x$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u - 6}{2 u + 15}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u - 6}{2 u + 15} = \frac{1}{2} - \frac{27}{2 \left(2 u + 15\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{27}{2 \left(2 u + 15\right)}\right)\, du = - \frac{27 \int \frac{1}{2 u + 15}\, du}{2}$

            1. que $u = 2 u + 15$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(2 u + 15 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{27 \log{\left(2 u + 15 \right)}}{4}$

         El resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{27 \log{\left(2 u + 15 \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5 x}{2} - \frac{27 \log{\left(10 x + 15 \right)}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5 x - 6}{2 x + 3} = \frac{5}{2} - \frac{27}{2 \left(2 x + 3\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{5}{2}\, dx = \frac{5 x}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{27}{2 \left(2 x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{27 \int \frac{1}{2 x + 3}\, dx}{2}$

         1. que $u = 2 x + 3$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{27 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{4}$

      El resultado es: $\frac{5 x}{2} - \frac{27 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{4}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5 x - 6}{2 x + 3} = \frac{5 x}{2 x + 3} - \frac{6}{2 x + 3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 x}{2 x + 3}\, dx = 5 \int \frac{x}{2 x + 3}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{2 x + 3} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2 \left(2 x + 3\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{3}{2 \left(2 x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{2 x + 3}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x + 3$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{4}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{3 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x}{2} - \frac{15 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{6}{2 x + 3}\right)\, dx = - 6 \int \frac{1}{2 x + 3}\, dx$

         1. que $u = 2 x + 3$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(2 x + 3 \right)}$

      El resultado es: $\frac{5 x}{2} - \frac{15 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{4} - 3 \log{\left(2 x + 3 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 x}{2} - \frac{27 \log{\left(10 x + 15 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 x}{2} - \frac{27 \log{\left(10 x + 15 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$