Integral de (x^4-9)*cbrt(x)*-5 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(-5\right) \sqrt[3]{x} \left(x^{4} - 9\right)\, dx = - 5 \int \sqrt[3]{x} \left(x^{4} - 9\right)\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(3 u^{15} - 27 u^{3}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3 u^{15}\, du = 3 \int u^{15}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{15}\, du = \frac{u^{16}}{16}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{16}}{16}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 27 u^{3}\right)\, du = - 27 \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{27 u^{4}}{4}$

            El resultado es: $\frac{3 u^{16}}{16} - \frac{27 u^{4}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 x^{\frac{16}{3}}}{16} - \frac{27 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sqrt[3]{x} \left(x^{4} - 9\right) = x^{\frac{13}{3}} - 9 \sqrt[3]{x}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{13}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{16}{3}}}{16}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 9 \sqrt[3]{x}\right)\, dx = - 9 \int \sqrt[3]{x}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt[3]{x}\, dx = \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{27 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

         El resultado es: $\frac{3 x^{\frac{16}{3}}}{16} - \frac{27 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{15 x^{\frac{16}{3}}}{16} + \frac{135 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{15 x^{\frac{4}{3}} \left(36 - x^{4}\right)}{16}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{15 x^{\frac{4}{3}} \left(36 - x^{4}\right)}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{15 x^{\frac{4}{3}} \left(36 - x^{4}\right)}{16}+ \mathrm{constant}$