Integral de 5^(7sinx+1)*cosx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 7 \sin{\left(x \right)} + 1$.

      Luego que $du = 7 \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

      $\int \frac{5^{u}}{7}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5^{u}\, du = \frac{\int 5^{u}\, du}{7}$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5^{u}}{7 \log{\left(5 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5^{7 \sin{\left(x \right)} + 1}}{7 \log{\left(5 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $5^{7 \sin{\left(x \right)} + 1} \cos{\left(x \right)} = 5 \cdot 5^{7 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 5 \cdot 5^{7 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx = 5 \int 5^{7 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = 7 \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = 7 \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

         $\int \frac{5^{u}}{7}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5^{u}\, du = \frac{\int 5^{u}\, du}{7}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5^{u}}{7 \log{\left(5 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{5^{7 \sin{\left(x \right)}}}{7 \log{\left(5 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \cdot 5^{7 \sin{\left(x \right)}}}{7 \log{\left(5 \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $5^{7 \sin{\left(x \right)} + 1} \cos{\left(x \right)} = 5 \cdot 5^{7 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 5 \cdot 5^{7 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx = 5 \int 5^{7 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = 7 \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = 7 \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

         $\int \frac{5^{u}}{7}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5^{u}\, du = \frac{\int 5^{u}\, du}{7}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5^{u}}{7 \log{\left(5 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{5^{7 \sin{\left(x \right)}}}{7 \log{\left(5 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \cdot 5^{7 \sin{\left(x \right)}}}{7 \log{\left(5 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{5^{7 \sin{\left(x \right)} + 1}}{7 \log{\left(5 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5^{7 \sin{\left(x \right)} + 1}}{7 \log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5^{7 \sin{\left(x \right)} + 1}}{7 \log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$