Integral de 1/(1-3x)^(3/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(1 - 3 x\right)^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{3 x \sqrt{1 - 3 x} - \sqrt{1 - 3 x}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{3 x \sqrt{1 - 3 x} - \sqrt{1 - 3 x}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{3 x \sqrt{1 - 3 x} - \sqrt{1 - 3 x}}\, dx$

      1. que $u = \sqrt{1 - 3 x}$.

         Luego que $du = - \frac{3 dx}{2 \sqrt{1 - 3 x}}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

         $\int \frac{2}{3 u^{2}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{3 u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2}{3 \sqrt{1 - 3 x}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{3 \sqrt{1 - 3 x}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(1 - 3 x\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{- 3 x \sqrt{1 - 3 x} + \sqrt{1 - 3 x}}$

   2. que $u = \sqrt{1 - 3 x}$.

      Luego que $du = - \frac{3 dx}{2 \sqrt{1 - 3 x}}$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{2}{3 u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{3 u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2}{3 \sqrt{1 - 3 x}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2}{3 \sqrt{1 - 3 x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2}{3 \sqrt{1 - 3 x}}+ \mathrm{constant}$