Integral de 5*x^4/(1+x^5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{5} + 1$.

      Luego que $du = 5 x^{4} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x^{5} + 1 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5 x^{4}}{x^{5} + 1} = \frac{4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1}{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1$.

         Luego que $du = \left(4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1\right) dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1 \right)}$

      1. que $u = x + 1$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x + 1 \right)}$

      El resultado es: $\log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(x^{5} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(x^{5} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$