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Resolución de integrales/ cot2x/ (cot2x)^5

Integral de (cot2x)^5 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
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 |  cot (2*x) dx
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/               
0
∫01cot⁡5(2x) dx\int\limits_{0}^{1} \cot^{5}{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral(cot(2*x)^5, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cot⁡5(2x)=(csc⁡2(2x)−1)2cot⁡(2x)\cot^{5}{\left(2 x \right)} = \left(\csc^{2}{\left(2 x \right)} - 1\right)^{2} \cot{\left(2 x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=csc⁡2(2x)u = \csc^{2}{\left(2 x \right)}.

      Luego que du=−4cot⁡(2x)csc⁡2(2x)dxdu = - 4 \cot{\left(2 x \right)} \csc^{2}{\left(2 x \right)} dx y ponemos −du4- \frac{du}{4}:

      ∫(−u2−2u+14u) du\int \left(- \frac{u^{2} - 2 u + 1}{4 u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u2−2u+1u du=−∫u2−2u+1u du4\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2−2u+1u=u−2+1u\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} = u - 2 + \frac{1}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−2) du=−2u\int \left(-2\right)\, du = - 2 u

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          El resultado es: u22−2u+log⁡(u)\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \log{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −u28+u2−log⁡(u)4- \frac{u^{2}}{8} + \frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(csc⁡2(2x))4−csc⁡4(2x)8+csc⁡2(2x)2- \frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(2 x \right)} \right)}}{4} - \frac{\csc^{4}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\csc^{2}{\left(2 x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (csc⁡2(2x)−1)2cot⁡(2x)=cot⁡(2x)csc⁡4(2x)−2cot⁡(2x)csc⁡2(2x)+cot⁡(2x)\left(\csc^{2}{\left(2 x \right)} - 1\right)^{2} \cot{\left(2 x \right)} = \cot{\left(2 x \right)} \csc^{4}{\left(2 x \right)} - 2 \cot{\left(2 x \right)} \csc^{2}{\left(2 x \right)} + \cot{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=csc⁡(2x)u = \csc{\left(2 x \right)}.

        Luego que du=−2cot⁡(2x)csc⁡(2x)dxdu = - 2 \cot{\left(2 x \right)} \csc{\left(2 x \right)} dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

        ∫(−u32) du\int \left(- \frac{u^{3}}{2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u3 du=−∫u3 du2\int u^{3}\, du = - \frac{\int u^{3}\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −u48- \frac{u^{4}}{8}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −csc⁡4(2x)8- \frac{\csc^{4}{\left(2 x \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cot⁡(2x)csc⁡2(2x)) dx=−2∫cot⁡(2x)csc⁡2(2x) dx\int \left(- 2 \cot{\left(2 x \right)} \csc^{2}{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cot{\left(2 x \right)} \csc^{2}{\left(2 x \right)}\, dx

        1. que u=csc⁡(2x)u = \csc{\left(2 x \right)}.

          Luego que du=−2cot⁡(2x)csc⁡(2x)dxdu = - 2 \cot{\left(2 x \right)} \csc{\left(2 x \right)} dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−u2) du\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du2\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u24- \frac{u^{2}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −csc⁡2(2x)4- \frac{\csc^{2}{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: csc⁡2(2x)2\frac{\csc^{2}{\left(2 x \right)}}{2}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cot⁡(2x)=cos⁡(2x)sin⁡(2x)\cot{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}

      2. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

        Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(sin⁡(2x))2\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2}

      El resultado es: log⁡(sin⁡(2x))2−csc⁡4(2x)8+csc⁡2(2x)2\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{4}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\csc^{2}{\left(2 x \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (csc⁡2(2x)−1)2cot⁡(2x)=cot⁡(2x)csc⁡4(2x)−2cot⁡(2x)csc⁡2(2x)+cot⁡(2x)\left(\csc^{2}{\left(2 x \right)} - 1\right)^{2} \cot{\left(2 x \right)} = \cot{\left(2 x \right)} \csc^{4}{\left(2 x \right)} - 2 \cot{\left(2 x \right)} \csc^{2}{\left(2 x \right)} + \cot{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=csc⁡(2x)u = \csc{\left(2 x \right)}.

        Luego que du=−2cot⁡(2x)csc⁡(2x)dxdu = - 2 \cot{\left(2 x \right)} \csc{\left(2 x \right)} dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

        ∫(−u32) du\int \left(- \frac{u^{3}}{2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u3 du=−∫u3 du2\int u^{3}\, du = - \frac{\int u^{3}\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −u48- \frac{u^{4}}{8}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −csc⁡4(2x)8- \frac{\csc^{4}{\left(2 x \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cot⁡(2x)csc⁡2(2x)) dx=−2∫cot⁡(2x)csc⁡2(2x) dx\int \left(- 2 \cot{\left(2 x \right)} \csc^{2}{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cot{\left(2 x \right)} \csc^{2}{\left(2 x \right)}\, dx

        1. que u=csc⁡(2x)u = \csc{\left(2 x \right)}.

          Luego que du=−2cot⁡(2x)csc⁡(2x)dxdu = - 2 \cot{\left(2 x \right)} \csc{\left(2 x \right)} dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−u2) du\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du2\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u24- \frac{u^{2}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −csc⁡2(2x)4- \frac{\csc^{2}{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: csc⁡2(2x)2\frac{\csc^{2}{\left(2 x \right)}}{2}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cot⁡(2x)=cos⁡(2x)sin⁡(2x)\cot{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}

      2. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

        Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(sin⁡(2x))2\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2}

      El resultado es: log⁡(sin⁡(2x))2−csc⁡4(2x)8+csc⁡2(2x)2\frac{\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{4}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\csc^{2}{\left(2 x \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(csc⁡2(2x))4−csc⁡4(2x)8+csc⁡2(2x)2+constant- \frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(2 x \right)} \right)}}{4} - \frac{\csc^{4}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\csc^{2}{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(csc⁡2(2x))4−csc⁡4(2x)8+csc⁡2(2x)2+constant- \frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(2 x \right)} \right)}}{4} - \frac{\csc^{4}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\csc^{2}{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                         
 |                       2           /   2     \      4     
 |    5               csc (2*x)   log\csc (2*x)/   csc (2*x)
 | cot (2*x) dx = C + --------- - -------------- - ---------
 |                        2             4              8    
/
∫cot⁡5(2x) dx=C−log⁡(csc⁡2(2x))4−csc⁡4(2x)8+csc⁡2(2x)2\int \cot^{5}{\left(2 x \right)}\, dx = C - \frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(2 x \right)} \right)}}{4} - \frac{\csc^{4}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\csc^{2}{\left(2 x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-10000000000000000001000000000000000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
2.27109081768167e+74
2.27109081768167e+74

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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