Integral de (2*x^4-3)^5*x^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x^{4} - 3$.

      Luego que $du = 8 x^{3} dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

      $\int \frac{u^{5}}{8}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = \frac{\int u^{5}\, du}{8}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{48}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 x^{4} - 3\right)^{6}}{48}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{3} \left(2 x^{4} - 3\right)^{5} = 32 x^{23} - 240 x^{19} + 720 x^{15} - 1080 x^{11} + 810 x^{7} - 243 x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 32 x^{23}\, dx = 32 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{24}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 240 x^{19}\right)\, dx = - 240 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 12 x^{20}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 720 x^{15}\, dx = 720 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $45 x^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1080 x^{11}\right)\, dx = - 1080 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 90 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 810 x^{7}\, dx = 810 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{405 x^{8}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 243 x^{3}\right)\, dx = - 243 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{243 x^{4}}{4}$

      El resultado es: $\frac{4 x^{24}}{3} - 12 x^{20} + 45 x^{16} - 90 x^{12} + \frac{405 x^{8}}{4} - \frac{243 x^{4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x^{4} - 3\right)^{6}}{48}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x^{4} - 3\right)^{6}}{48}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x^{4} - 3\right)^{6}}{48}+ \mathrm{constant}$