Integral de (2x+5)/(4x+2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u + 5}{4 u + 4}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u + 5}{4 u + 4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{u + 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

         1. que $u = u + 1$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(u + 1 \right)}$

         El resultado es: $\frac{u}{4} + \log{\left(u + 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x}{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 5}{4 x + 2} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2 x + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{2 x + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{2 x + 1}\, dx$

         1. que $u = 2 x + 1$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(2 x + 1 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 5}{4 x + 2} = \frac{2 x}{4 x + 2} + \frac{5}{4 x + 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x}{4 x + 2}\, dx = 2 \int \frac{x}{4 x + 2}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{4 x + 2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4 \left(2 x + 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{4 \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{4}$

               1. que $u = 2 x + 1$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}$

            El resultado es: $\frac{x}{4} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5}{4 x + 2}\, dx = 5 \int \frac{1}{4 x + 2}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 4 x + 2$.

               Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{1}{4 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(4 x + 2 \right)}}{4}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{4 x + 2} = \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x + 1$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \log{\left(4 x + 2 \right)}}{4}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4} + \frac{5 \log{\left(4 x + 2 \right)}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$