Integral de 5x^2(1-x^3)^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - x^{3}$.

      Luego que $du = - 3 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{5 du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{5 u^{5}}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = - \frac{5 \int u^{5}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{6}}{18}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{5 \left(1 - x^{3}\right)^{6}}{18}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $5 x^{2} \left(1 - x^{3}\right)^{5} = - 5 x^{17} + 25 x^{14} - 50 x^{11} + 50 x^{8} - 25 x^{5} + 5 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5 x^{17}\right)\, dx = - 5 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{18}}{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 25 x^{14}\, dx = 25 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{15}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 50 x^{11}\right)\, dx = - 50 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{25 x^{12}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 50 x^{8}\, dx = 50 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{50 x^{9}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 25 x^{5}\right)\, dx = - 25 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{25 x^{6}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x^{2}\, dx = 5 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{3}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{5 x^{18}}{18} + \frac{5 x^{15}}{3} - \frac{25 x^{12}}{6} + \frac{50 x^{9}}{9} - \frac{25 x^{6}}{6} + \frac{5 x^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{5 \left(x^{3} - 1\right)^{6}}{18}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{5 \left(x^{3} - 1\right)^{6}}{18}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{5 \left(x^{3} - 1\right)^{6}}{18}+ \mathrm{constant}$