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Resolución de integrales/ x*cos(2x+(pi/4))

Integral de x*cos(2x+(pi/4)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |       /      pi\   
 |  x*cos|2*x + --| dx
 |       \      4 /   
 |                    
/                     
0
∫01xcos⁡(2x+π4) dx\int\limits_{0}^{1} x \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}\, dx 
Integral(x*cos(2*x + pi/4), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xcos⁡(2x+π4)=xcos⁡(2x+π4)x \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} = x \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x+π4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=2x+π4u = 2 x + \frac{\pi}{4}.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x+π4)2\frac{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫sin⁡(2x+π4)2 dx=∫sin⁡(2x+π4) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}\, dx}{2}

      1. que u=2x+π4u = 2 x + \frac{\pi}{4}.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(2x+π4)2- \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x+π4)4- \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x+π4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=2x+π4u = 2 x + \frac{\pi}{4}.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x+π4)2\frac{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫sin⁡(2x+π4)2 dx=∫sin⁡(2x+π4) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}\, dx}{2}

      1. que u=2x+π4u = 2 x + \frac{\pi}{4}.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(2x+π4)2- \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x+π4)4- \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xcos⁡(2x+π4)=xcos⁡(2x+π4)x \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} = x \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x+π4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=2x+π4u = 2 x + \frac{\pi}{4}.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x+π4)2\frac{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫sin⁡(2x+π4)2 dx=∫sin⁡(2x+π4) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}\, dx}{2}

      1. que u=2x+π4u = 2 x + \frac{\pi}{4}.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(2x+π4)2- \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x+π4)4- \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xsin⁡(2x+π4)2+cos⁡(2x+π4)4+constant\frac{x \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xsin⁡(2x+π4)2+cos⁡(2x+π4)4+constant\frac{x \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                            /      pi\        /      pi\
 |                          cos|2*x + --|   x*sin|2*x + --|
 |      /      pi\             \      4 /        \      4 /
 | x*cos|2*x + --| dx = C + ------------- + ---------------
 |      \      4 /                4                2       
 |                                                         
/
∫xcos⁡(2x+π4) dx=C+xsin⁡(2x+π4)2+cos⁡(2x+π4)4\int x \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}\, dx = C + \frac{x \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
   /    pi\              /    pi\
sin|2 + --|     ___   cos|2 + --|
   \    4 /   \/ 2       \    4 /
----------- - ----- + -----------
     2          8          4
cos⁡(π4+2)4−28+sin⁡(π4+2)2\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{4} + 2 \right)}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{\sin{\left(\frac{\pi}{4} + 2 \right)}}{2} 
=
= 
   /    pi\              /    pi\
sin|2 + --|     ___   cos|2 + --|
   \    4 /   \/ 2       \    4 /
----------- - ----- + -----------
     2          8          4
cos⁡(π4+2)4−28+sin⁡(π4+2)2\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{4} + 2 \right)}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{\sin{\left(\frac{\pi}{4} + 2 \right)}}{2} 
sin(2 + pi/4)/2 - sqrt(2)/8 + cos(2 + pi/4)/4
Respuesta numérica [src] 
-0.236729288709518
-0.236729288709518

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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