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Resolución de integrales/ 2x*ln(9x)

Integral de 2x*ln(9x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |  2*x*log(9*x) dx
 |                 
/                  
0
∫012xlog⁡(9x) dx\int\limits_{0}^{1} 2 x \log{\left(9 x \right)}\, dx 
Integral((2*x)*log(9*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2xlog⁡(9x)=2xlog⁡(x)+4xlog⁡(3)2 x \log{\left(9 x \right)} = 2 x \log{\left(x \right)} + 4 x \log{\left(3 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xlog⁡(x) dx=2∫xlog⁡(x) dx\int 2 x \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(x)−x22x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xlog⁡(3) dx=4log⁡(3)∫x dx\int 4 x \log{\left(3 \right)}\, dx = 4 \log{\left(3 \right)} \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x2log⁡(3)2 x^{2} \log{\left(3 \right)}

      El resultado es: x2log⁡(x)−x22+2x2log⁡(3)x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x^{2} \log{\left(3 \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(9x)u{\left(x \right)} = \log{\left(9 x \right)} y que dv⁡(x)=2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 2 x.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x dx=2∫x dx\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x2x^{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

      ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2xlog⁡(9x)=2xlog⁡(x)+4xlog⁡(3)2 x \log{\left(9 x \right)} = 2 x \log{\left(x \right)} + 4 x \log{\left(3 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xlog⁡(x) dx=2∫xlog⁡(x) dx\int 2 x \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(x)−x22x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xlog⁡(3) dx=4log⁡(3)∫x dx\int 4 x \log{\left(3 \right)}\, dx = 4 \log{\left(3 \right)} \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x2log⁡(3)2 x^{2} \log{\left(3 \right)}

      El resultado es: x2log⁡(x)−x22+2x2log⁡(3)x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x^{2} \log{\left(3 \right)}

  2. Ahora simplificar:

    x2(2log⁡(x)−1+log⁡(81))2\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(81 \right)}\right)}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(2log⁡(x)−1+log⁡(81))2+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(81 \right)}\right)}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2(2log⁡(x)−1+log⁡(81))2+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(81 \right)}\right)}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                       2                          
 |                       x     2             2       
 | 2*x*log(9*x) dx = C - -- + x *log(x) + 2*x *log(3)
 |                       2                           
/
∫2xlog⁡(9x) dx=C+x2log⁡(x)−x22+2x2log⁡(3)\int 2 x \log{\left(9 x \right)}\, dx = C + x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x^{2} \log{\left(3 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-1/2 + log(9)
−12+log⁡(9)- \frac{1}{2} + \log{\left(9 \right)} 
=
= 
-1/2 + log(9)
−12+log⁡(9)- \frac{1}{2} + \log{\left(9 \right)} 
-1/2 + log(9)
Respuesta numérica [src] 
1.69722457733622
1.69722457733622

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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