Integral de ln(sqrt(x))/sqrt(x) dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |               
 |     /  ___\   
 |  log\\/ x /   
 |  ---------- dx
 |      ___      
 |    \/ x       
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}}\, dx$$

Integral(log(sqrt(x))/sqrt(x), (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \log{\left(\sqrt{x} \right)}$ .
  
  Luego que $du = \frac{dx}{2 x}$ y ponemos $2 du$ :
  
  $\int 2 u e^{u}\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int u e^{u}\, du = 2 \int u e^{u}\, du$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
    Por lo tanto, el resultado es: $2 u e^{u} - 2 e^{u}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $2 \sqrt{x} \log{\left(\sqrt{x} \right)} - 2 \sqrt{x}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\log{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}} = \frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}$
2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}\, dx = \frac{\int \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}}\, dx}{2}$
  1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .
    
    Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$ :
    
    $\int \left(- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\, du = - 2 \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{2}{u}$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u} - \frac{4}{u}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x}$
  Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 2 \sqrt{x}$
Método #3
1. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 x}$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
    
    $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$
  Ahora resolvemos podintegral.
2. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
  
  $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$
Método #4
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\log{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}} = \frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}$
2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}\, dx = \frac{\int \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}}\, dx}{2}$
  1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .
    
    Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$ :
    
    $\int \left(- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\, du = - 2 \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{2}{u}$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u} - \frac{4}{u}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x}$
  Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 2 \sqrt{x}$
Ahora simplificar:

$\sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 2\right)$
Añadimos la constante de integración:

$\sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 2\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 2\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                
 |                                                 
 |    /  ___\                                      
 | log\\/ x /              ___       ___    /  ___\
 | ---------- dx = C - 2*\/ x  + 2*\/ x *log\\/ x /
 |     ___                                         
 |   \/ x                                          
 |                                                 
/

$$\int \frac{\log{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}}\, dx = C + 2 \sqrt{x} \log{\left(\sqrt{x} \right)} - 2 \sqrt{x}$$

Simplificar

Respuesta [src]

-2

$$-2$$

-2

$$-2$$

-2

Respuesta numérica [src]

-1.99999998776733

-1.99999998776733

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de ln(sqrt(x))/sqrt(x) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3

Método #4