Integral de ln(sqrt(x))/sqrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(\sqrt{x} \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 x}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 u e^{u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u e^{u}\, du = 2 \int u e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u e^{u} - 2 e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x} \log{\left(\sqrt{x} \right)} - 2 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\log{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}} = \frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}\, dx = \frac{\int \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}}\, dx}{2}$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\, du = - 2 \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{2}{u}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u} - \frac{4}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 2 \sqrt{x}$

   Método #3

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\log{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}} = \frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}\, dx = \frac{\int \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}}\, dx}{2}$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\, du = - 2 \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{2}{u}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u} - \frac{4}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 2 \sqrt{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 2\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 2\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 2\right)+ \mathrm{constant}$