Integral de 2(1+3/2(x-1))^(1/2) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 \sqrt{\frac{3 \left(x - 1\right)}{2} + 1}\, dx = 2 \int \sqrt{\frac{3 \left(x - 1\right)}{2} + 1}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \frac{3 \left(x - 1\right)}{2} + 1$.

         Luego que $du = \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

         $\int \frac{2 \sqrt{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 \int \sqrt{u}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{9}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{4 \left(\frac{3 \left(x - 1\right)}{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\text{True}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{2} \sqrt{3 x - 1}}{2}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \sqrt{3 x - 1}\, dx}{2}$

         1. que $u = 3 x - 1$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{\sqrt{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \left(3 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \left(3 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 \left(\frac{3 \left(x - 1\right)}{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{2} \left(3 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{2} \left(3 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{2} \left(3 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}+ \mathrm{constant}$