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Resolución de integrales/ (3-4x)/ (2x-5)/ (2x-5)e^(3-4x)

Integral de (2x-5)e^(3-4x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |             3 - 4*x   
 |  (2*x - 5)*E        dx
 |                       
/                        
0
∫01e3−4x(2x−5) dx\int\limits_{0}^{1} e^{3 - 4 x} \left(2 x - 5\right)\, dx 
Integral((2*x - 5)*E^(3 - 4*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

      ∫(ue3e−2u2−5e3e−2u2) du\int \left(\frac{u e^{3} e^{- 2 u}}{2} - \frac{5 e^{3} e^{- 2 u}}{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫ue3e−2u2 du=e3∫ue−2u du2\int \frac{u e^{3} e^{- 2 u}}{2}\, du = \frac{e^{3} \int u e^{- 2 u}\, du}{2}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e−2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- 2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=−2uu = - 2 u.

              Luego que du=−2dudu = - 2 du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

              ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −e−2u2- \frac{e^{- 2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−e−2u2) du=−∫e−2u du2\int \left(- \frac{e^{- 2 u}}{2}\right)\, du = - \frac{\int e^{- 2 u}\, du}{2}

            1. que u=−2uu = - 2 u.

              Luego que du=−2dudu = - 2 du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

              ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −e−2u2- \frac{e^{- 2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e−2u4\frac{e^{- 2 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: (−ue−2u2−e−2u4)e32\frac{\left(- \frac{u e^{- 2 u}}{2} - \frac{e^{- 2 u}}{4}\right) e^{3}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−5e3e−2u2) du=−5e3∫e−2u du2\int \left(- \frac{5 e^{3} e^{- 2 u}}{2}\right)\, du = - \frac{5 e^{3} \int e^{- 2 u}\, du}{2}

          1. que u=−2uu = - 2 u.

            Luego que du=−2dudu = - 2 du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

            ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−2u2- \frac{e^{- 2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 5e3e−2u4\frac{5 e^{3} e^{- 2 u}}{4}

        El resultado es: (−ue−2u2−e−2u4)e32+5e3e−2u4\frac{\left(- \frac{u e^{- 2 u}}{2} - \frac{e^{- 2 u}}{4}\right) e^{3}}{2} + \frac{5 e^{3} e^{- 2 u}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      (−xe−4x−e−4x4)e32+5e3e−4x4\frac{\left(- x e^{- 4 x} - \frac{e^{- 4 x}}{4}\right) e^{3}}{2} + \frac{5 e^{3} e^{- 4 x}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e3−4x(2x−5)=2xe3e−4x−5e3e−4xe^{3 - 4 x} \left(2 x - 5\right) = 2 x e^{3} e^{- 4 x} - 5 e^{3} e^{- 4 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xe3e−4x dx=2e3∫xe−4x dx\int 2 x e^{3} e^{- 4 x}\, dx = 2 e^{3} \int x e^{- 4 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e−4x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 4 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=−4xu = - 4 x.

            Luego que du=−4dxdu = - 4 dx y ponemos −du4- \frac{du}{4}:

            ∫(−eu4) du\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu4- \frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−4x4- \frac{e^{- 4 x}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−e−4x4) dx=−∫e−4x dx4\int \left(- \frac{e^{- 4 x}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 4 x}\, dx}{4}

          1. que u=−4xu = - 4 x.

            Luego que du=−4dxdu = - 4 dx y ponemos −du4- \frac{du}{4}:

            ∫(−eu4) du\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu4- \frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−4x4- \frac{e^{- 4 x}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: e−4x16\frac{e^{- 4 x}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(−xe−4x4−e−4x16)e32 \left(- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}\right) e^{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−5e3e−4x) dx=−5e3∫e−4x dx\int \left(- 5 e^{3} e^{- 4 x}\right)\, dx = - 5 e^{3} \int e^{- 4 x}\, dx

        1. que u=−4xu = - 4 x.

          Luego que du=−4dxdu = - 4 dx y ponemos −du4- \frac{du}{4}:

          ∫(−eu4) du\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu4- \frac{e^{u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−4x4- \frac{e^{- 4 x}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 5e3e−4x4\frac{5 e^{3} e^{- 4 x}}{4}

      El resultado es: 2(−xe−4x4−e−4x16)e3+5e3e−4x42 \left(- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}\right) e^{3} + \frac{5 e^{3} e^{- 4 x}}{4}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e3−4x(2x−5)=2xe3e−4x−5e3e−4xe^{3 - 4 x} \left(2 x - 5\right) = 2 x e^{3} e^{- 4 x} - 5 e^{3} e^{- 4 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xe3e−4x dx=2e3∫xe−4x dx\int 2 x e^{3} e^{- 4 x}\, dx = 2 e^{3} \int x e^{- 4 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e−4x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 4 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=−4xu = - 4 x.

            Luego que du=−4dxdu = - 4 dx y ponemos −du4- \frac{du}{4}:

            ∫(−eu4) du\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu4- \frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−4x4- \frac{e^{- 4 x}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−e−4x4) dx=−∫e−4x dx4\int \left(- \frac{e^{- 4 x}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 4 x}\, dx}{4}

          1. que u=−4xu = - 4 x.

            Luego que du=−4dxdu = - 4 dx y ponemos −du4- \frac{du}{4}:

            ∫(−eu4) du\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu4- \frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−4x4- \frac{e^{- 4 x}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: e−4x16\frac{e^{- 4 x}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(−xe−4x4−e−4x16)e32 \left(- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}\right) e^{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−5e3e−4x) dx=−5e3∫e−4x dx\int \left(- 5 e^{3} e^{- 4 x}\right)\, dx = - 5 e^{3} \int e^{- 4 x}\, dx

        1. que u=−4xu = - 4 x.

          Luego que du=−4dxdu = - 4 dx y ponemos −du4- \frac{du}{4}:

          ∫(−eu4) du\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu4- \frac{e^{u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−4x4- \frac{e^{- 4 x}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 5e3e−4x4\frac{5 e^{3} e^{- 4 x}}{4}

      El resultado es: 2(−xe−4x4−e−4x16)e3+5e3e−4x42 \left(- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}\right) e^{3} + \frac{5 e^{3} e^{- 4 x}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    (9−4x)e3−4x8\frac{\left(9 - 4 x\right) e^{3 - 4 x}}{8}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (9−4x)e3−4x8+constant\frac{\left(9 - 4 x\right) e^{3 - 4 x}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(9−4x)e3−4x8+constant\frac{\left(9 - 4 x\right) e^{3 - 4 x}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                               /   -4*x          \                
  /                            |  e          -4*x|  3             
 |                             |- ----- - x*e    |*e       3  -4*x
 |            3 - 4*x          \    4            /      5*e *e    
 | (2*x - 5)*E        dx = C + ---------------------- + ----------
 |                                       2                  4     
/
∫e3−4x(2x−5) dx=C+(−xe−4x−e−4x4)e32+5e3e−4x4\int e^{3 - 4 x} \left(2 x - 5\right)\, dx = C + \frac{\left(- x e^{- 4 x} - \frac{e^{- 4 x}}{4}\right) e^{3}}{2} + \frac{5 e^{3} e^{- 4 x}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-100100
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     3      -1
  9*e    5*e  
- ---- + -----
   8       8
−9e38+58e- \frac{9 e^{3}}{8} + \frac{5}{8 e} 
=
= 
     3      -1
  9*e    5*e  
- ---- + -----
   8       8
−9e38+58e- \frac{9 e^{3}}{8} + \frac{5}{8 e} 
-9*exp(3)/8 + 5*exp(-1)/8
Respuesta numérica [src] 
-22.366304387854
-22.366304387854

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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