Integral de 3/5x^4(3x^5+12)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x^{5} + 12$.

      Luego que $du = 15 x^{4} dx$ y ponemos $\frac{du}{25}$:

      $\int \frac{u^{3}}{25}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{25}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{100}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x^{5} + 12\right)^{4}}{100}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x^{4}}{5} \left(3 x^{5} + 12\right)^{3} = \frac{81 x^{19}}{5} + \frac{972 x^{14}}{5} + \frac{3888 x^{9}}{5} + \frac{5184 x^{4}}{5}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{81 x^{19}}{5}\, dx = \frac{81 \int x^{19}\, dx}{5}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{81 x^{20}}{100}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{972 x^{14}}{5}\, dx = \frac{972 \int x^{14}\, dx}{5}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{324 x^{15}}{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3888 x^{9}}{5}\, dx = \frac{3888 \int x^{9}\, dx}{5}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1944 x^{10}}{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5184 x^{4}}{5}\, dx = \frac{5184 \int x^{4}\, dx}{5}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5184 x^{5}}{25}$

      El resultado es: $\frac{81 x^{20}}{100} + \frac{324 x^{15}}{25} + \frac{1944 x^{10}}{25} + \frac{5184 x^{5}}{25}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{81 \left(x^{5} + 4\right)^{4}}{100}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{81 \left(x^{5} + 4\right)^{4}}{100}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{81 \left(x^{5} + 4\right)^{4}}{100}+ \mathrm{constant}$