Integral de x*(sqrt(4/9-x^2)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{4}{9} - x^{2}$.

      Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(\frac{4}{9} - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\text{True}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x \sqrt{4 - 9 x^{2}}}{3}\, dx = \frac{\int x \sqrt{4 - 9 x^{2}}\, dx}{3}$

      1. que $u = 4 - 9 x^{2}$.

         Luego que $du = - 18 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{18}$:

         $\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{18}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{18}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{27}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\left(4 - 9 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{27}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(4 - 9 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{81}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(4 - 9 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{81}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(4 - 9 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{81}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(4 - 9 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{81}+ \mathrm{constant}$