Integral de ((2x^3+6x^4)^4)*(x^2+1) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\left(x^{2} + 1\right) \left(6 x^{4} + 2 x^{3}\right)^{4} = 1296 x^{18} + 1728 x^{17} + 2160 x^{16} + 1920 x^{15} + 880 x^{14} + 192 x^{13} + 16 x^{12}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1296 x^{18}\, dx = 1296 \int x^{18}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1296 x^{19}}{19}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1728 x^{17}\, dx = 1728 \int x^{17}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

      Por lo tanto, el resultado es: $96 x^{18}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2160 x^{16}\, dx = 2160 \int x^{16}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2160 x^{17}}{17}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1920 x^{15}\, dx = 1920 \int x^{15}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

      Por lo tanto, el resultado es: $120 x^{16}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 880 x^{14}\, dx = 880 \int x^{14}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{176 x^{15}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 192 x^{13}\, dx = 192 \int x^{13}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{96 x^{14}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 16 x^{12}\, dx = 16 \int x^{12}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{13}}{13}$

   El resultado es: $\frac{1296 x^{19}}{19} + 96 x^{18} + \frac{2160 x^{17}}{17} + 120 x^{16} + \frac{176 x^{15}}{3} + \frac{96 x^{14}}{7} + \frac{16 x^{13}}{13}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{8 x^{13} \left(751842 x^{6} + 1058148 x^{5} + 1400490 x^{4} + 1322685 x^{3} + 646646 x^{2} + 151164 x + 13566\right)}{88179}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{8 x^{13} \left(751842 x^{6} + 1058148 x^{5} + 1400490 x^{4} + 1322685 x^{3} + 646646 x^{2} + 151164 x + 13566\right)}{88179}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{8 x^{13} \left(751842 x^{6} + 1058148 x^{5} + 1400490 x^{4} + 1322685 x^{3} + 646646 x^{2} + 151164 x + 13566\right)}{88179}+ \mathrm{constant}$