Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de ((4+x)/(-1+x))^(3*x)
-
Límite de (x-2*x^2+5*x^4)/(2+x^4+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- x^ dos *log(uno - dos /(x*(uno +x)))
- x al cuadrado multiplicar por logaritmo de (1 menos 2 dividir por (x multiplicar por (1 más x)))
- x en el grado dos multiplicar por logaritmo de (uno menos dos dividir por (x multiplicar por (uno más x)))
- x2*log(1-2/(x*(1+x)))
- x2*log1-2/x*1+x
- x²*log(1-2/(x*(1+x)))
- x en el grado 2*log(1-2/(x*(1+x)))
- x^2log(1-2/(x(1+x)))
- x2log(1-2/(x(1+x)))
- x2log1-2/x1+x
- x^2log1-2/x1+x
- x^2*log(1-2 dividir por (x*(1+x)))
-
Expresiones semejantes
- x^2*log(1+2/(x*(1+x)))
- x^2*log(1-2/(x*(1-x)))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(1+x^2)/(1-sqrt(1+x^2))
- log(cos(3*x))/log(cos(5*x))
- log(1+sin(x))/sin(x)^4
- log(1+k*x)/x
- log(x)/(1+x^2)
Límite de la función x^2*log(1-2/(x*(1+x)))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 / 2 \\ lim |x *log|1 - ---------|| x->oo\ \ x*(1 + x)//
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \log{\left(1 - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} \right)}\right)$$
Limit(x^2*log(1 - 2*1/(x*(1 + x))), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x \left(x + 1\right) - 2}{x \left(x + 1\right)} \right)}} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \log{\left(1 - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \log{\left(\frac{x \left(x + 1\right) - 2}{x \left(x + 1\right)} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x \left(x + 1\right) - 2}{x \left(x + 1\right)} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{2 x^{2} \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2} + 2 x \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2} - 4 \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2}} - \frac{1}{2 x^{2} \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2} + 2 x \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2} - 4 \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2}}\right) \left(- \frac{x^{2}}{x^{3} + 2 x^{2} + x} - \frac{x^{2}}{x^{3} + x^{2}} - \frac{x}{x^{3} + 2 x^{2} + x} - \frac{x}{x^{3} + x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + x} + \frac{2}{x^{3} + 2 x^{2} + x} + \frac{2}{x^{3} + x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{2 x^{2} \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2} + 2 x \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2} - 4 \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2}} - \frac{1}{2 x^{2} \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2} + 2 x \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2} - 4 \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2}}\right) \left(- \frac{x^{2}}{x^{3} + 2 x^{2} + x} - \frac{x^{2}}{x^{3} + x^{2}} - \frac{x}{x^{3} + 2 x^{2} + x} - \frac{x}{x^{3} + x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + x} + \frac{2}{x^{3} + 2 x^{2} + x} + \frac{2}{x^{3} + x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + x}\right)}\right)$$
=
$$-2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x \left(x + 1\right) - 2}{x \left(x + 1\right)} \right)}} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \log{\left(1 - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \log{\left(\frac{x \left(x + 1\right) - 2}{x \left(x + 1\right)} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x \left(x + 1\right) - 2}{x \left(x + 1\right)} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{2 x^{2} \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2} + 2 x \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2} - 4 \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2}} - \frac{1}{2 x^{2} \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2} + 2 x \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2} - 4 \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2}}\right) \left(- \frac{x^{2}}{x^{3} + 2 x^{2} + x} - \frac{x^{2}}{x^{3} + x^{2}} - \frac{x}{x^{3} + 2 x^{2} + x} - \frac{x}{x^{3} + x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + x} + \frac{2}{x^{3} + 2 x^{2} + x} + \frac{2}{x^{3} + x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{2 x^{2} \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2} + 2 x \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2} - 4 \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2}} - \frac{1}{2 x^{2} \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2} + 2 x \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2} - 4 \log{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x} - \frac{2}{x^{2} + x} \right)}^{2}}\right) \left(- \frac{x^{2}}{x^{3} + 2 x^{2} + x} - \frac{x^{2}}{x^{3} + x^{2}} - \frac{x}{x^{3} + 2 x^{2} + x} - \frac{x}{x^{3} + x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + x} + \frac{2}{x^{3} + 2 x^{2} + x} + \frac{2}{x^{3} + x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + x}\right)}\right)$$
=
$$-2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \log{\left(1 - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} \right)}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{2} \log{\left(1 - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \log{\left(1 - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{2} \log{\left(1 - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} \right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} \log{\left(1 - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} \right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \log{\left(1 - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} \right)}\right) = -2$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{2} \log{\left(1 - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \log{\left(1 - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{2} \log{\left(1 - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} \right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} \log{\left(1 - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} \right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \log{\left(1 - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} \right)}\right) = -2$$
Más detalles con x→-oo