Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (3-sqrt(x))/(4-sqrt(-2+2*x))
- Límite de (2+x^3+4*x^2+5*x)/(-2+x^3-3*x)
-
Expresiones idénticas
- ((uno + cinco *x)/(seis + cinco *x))^(- uno + cuatro *x)
- ((1 más 5 multiplicar por x) dividir por (6 más 5 multiplicar por x)) en el grado ( menos 1 más 4 multiplicar por x)
- ((uno más cinco multiplicar por x) dividir por (seis más cinco multiplicar por x)) en el grado ( menos uno más cuatro multiplicar por x)
- ((1+5*x)/(6+5*x))(-1+4*x)
- 1+5*x/6+5*x-1+4*x
- ((1+5x)/(6+5x))^(-1+4x)
- ((1+5x)/(6+5x))(-1+4x)
- 1+5x/6+5x-1+4x
- 1+5x/6+5x^-1+4x
- ((1+5*x) dividir por (6+5*x))^(-1+4*x)
-
Expresiones semejantes
- ((1+5*x)/(6+5*x))^(1+4*x)
- ((1+5*x)/(6-5*x))^(-1+4*x)
- ((1+5*x)/(6+5*x))^(-1-4*x)
- ((1-5*x)/(6+5*x))^(-1+4*x)
Límite de la función ((1+5*x)/(6+5*x))^(-1+4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
-1 + 4*x
/1 + 5*x\
lim |-------|
x->oo\6 + 5*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1}$$
Limit(((1 + 5*x)/(6 + 5*x))^(-1 + 4*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 6\right) - 5}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{5}{5 x + 6} + \frac{5 x + 6}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 6}{-5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u - \frac{29}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{29}{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{29}{5}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4} = e^{-4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1} = e^{-4}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 6\right) - 5}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{5}{5 x + 6} + \frac{5 x + 6}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 6}{-5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u - \frac{29}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{29}{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{29}{5}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4} = e^{-4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1} = e^{-4}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1} = e^{-4}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1} = 6$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1} = 6$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1} = \frac{216}{1331}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1} = \frac{216}{1331}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1} = e^{-4}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1} = 6$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1} = 6$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1} = \frac{216}{1331}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1} = \frac{216}{1331}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x + 6}\right)^{4 x - 1} = e^{-4}$$
Más detalles con x→-oo