Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de (1+1/x)^(3*x)
-
Expresiones idénticas
- x*log((dos +x)/(tres +x))
- x multiplicar por logaritmo de ((2 más x) dividir por (3 más x))
- x multiplicar por logaritmo de ((dos más x) dividir por (tres más x))
- xlog((2+x)/(3+x))
- xlog2+x/3+x
- x*log((2+x) dividir por (3+x))
-
Expresiones semejantes
- x*log((2+x)/(3-x))
- x*log((2-x)/(3+x))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(sin(3*x))/(-pi+6*x)^2
- log(cos(5*x))/log(cos(4*x))
- log(1+2*x)/(2*x)
- log(1+x^2-x)/log(1+x+x^10)
- log(-3+x^2)/(2+x^2-3*x)
Límite de la función x*log((2+x)/(3+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ /2 + x\\ lim |x*log|-----|| x->oo\ \3 + x//
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}\right)$$
Limit(x*log((2 + x)/(3 + x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{x \log{\left(\frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x + 3} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x + 3} \right)}^{2}} - \frac{3}{x \log{\left(\frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x + 3} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x + 3} \right)}^{2}}\right) \left(- \frac{x}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{1}{x + 3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{x \log{\left(\frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x + 3} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x + 3} \right)}^{2}} - \frac{3}{x \log{\left(\frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x + 3} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x + 3} \right)}^{2}}\right) \left(- \frac{x}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{1}{x + 3}\right)}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{x \log{\left(\frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x + 3} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x + 3} \right)}^{2}} - \frac{3}{x \log{\left(\frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x + 3} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x + 3} \right)}^{2}}\right) \left(- \frac{x}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{1}{x + 3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{x \log{\left(\frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x + 3} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x + 3} \right)}^{2}} - \frac{3}{x \log{\left(\frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x + 3} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x + 3} \right)}^{2}}\right) \left(- \frac{x}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{1}{x + 3}\right)}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}\right) = - 2 \log{\left(2 \right)} + \log{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}\right) = - 2 \log{\left(2 \right)} + \log{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}\right) = - 2 \log{\left(2 \right)} + \log{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}\right) = - 2 \log{\left(2 \right)} + \log{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(\frac{x + 2}{x + 3} \right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo