Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (1-7/x)^x
-
Límite de (1-cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x))/(1-cos(x))
-
Límite de (x-x^3+5*x^2)/(-x^2+2*x^3+7*x)
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres -x)/(x^ dos - cuatro *x)
- (x al cubo menos x) dividir por (x al cuadrado menos 4 multiplicar por x)
- (x en el grado tres menos x) dividir por (x en el grado dos menos cuatro multiplicar por x)
- (x3-x)/(x2-4*x)
- x3-x/x2-4*x
- (x³-x)/(x²-4*x)
- (x en el grado 3-x)/(x en el grado 2-4*x)
- (x^3-x)/(x^2-4x)
- (x3-x)/(x2-4x)
- x3-x/x2-4x
- x^3-x/x^2-4x
- (x^3-x) dividir por (x^2-4*x)
-
Expresiones semejantes
- (x^3+x)/(x^2-4*x)
- (x^3-x)/(x^2+4*x)
Límite de la función (x^3-x)/(x^2-4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 \
| x - x |
lim |--------|
x->-oo| 2 |
\x - 4*x/
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right)$$
Limit((x^3 - x)/(x^2 - 4*x), x, -oo)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - u^{2}}{- 4 u^{2} + u}\right)$$
=
$$\frac{1 - 0^{2}}{\left(-1\right) 4 \cdot 0^{2}} = -\infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - u^{2}}{- 4 u^{2} + u}\right)$$
=
$$\frac{1 - 0^{2}}{\left(-1\right) 4 \cdot 0^{2}} = -\infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right) = -\infty$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - 4\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - 4\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha