Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-3+sqrt(4+x))/(-2+sqrt(-1+x))
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (-2+sqrt(x))/(-3+sqrt(1+2*x))
- Límite de (a^x-x^a)/(x-a)
-
Expresiones idénticas
- atan(cinco *x/ dos)/(seis *x)
- arco tangente de gente de (5 multiplicar por x dividir por 2) dividir por (6 multiplicar por x)
- arco tangente de gente de (cinco multiplicar por x dividir por dos) dividir por (seis multiplicar por x)
- atan(5x/2)/(6x)
- atan5x/2/6x
- atan(5*x dividir por 2) dividir por (6*x)
-
Expresiones semejantes
- arctan(5*x/2)/(6*x)
-
Expresiones con funciones
- Arcotangente arctan
- atan(4+x)
- atan(x)^(1/log(x))
- atan(2*x)^2/(-1+e^(3*x^2))
- atan(5^(-x))
- atan(sqrt(x))^2-2*x
Límite de la función atan(5*x/2)/(6*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ /5*x\\
|atan|---||
| \ 2 /|
lim |---------|
x->0+\ 6*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right)$$
Limit(atan((5*x)/2)/((6*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}$$
$$x = \frac{2 \tan{\left(u \right)}}{5}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\frac{5}{2} \tan{\left(u \right)}}{\frac{5}{2}} \right)}}{\frac{1}{\frac{5}{2}} \tan{\left(u \right)}}\right)}{6}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\frac{5}{2} \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(u \right)} \right)}}{\tan{\left(u \right)}}\right)}{6} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u}{2 \tan{\left(u \right)}}\right)}{6}$$
=
$$\frac{5 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \tan{\left(u \right)}}}{12}$$
cambiamos
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{u}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u \cos{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{u \to 0^+} \cos{\left(u \right)} = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right) = \frac{5}{12}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}$$
$$x = \frac{2 \tan{\left(u \right)}}{5}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\frac{5}{2} \tan{\left(u \right)}}{\frac{5}{2}} \right)}}{\frac{1}{\frac{5}{2}} \tan{\left(u \right)}}\right)}{6}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\frac{5}{2} \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(u \right)} \right)}}{\tan{\left(u \right)}}\right)}{6} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u}{2 \tan{\left(u \right)}}\right)}{6}$$
=
$$\frac{5 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \tan{\left(u \right)}}}{12}$$
/tan(u)\
= 5/12 / ( lim |------| )
u->0+\ u / cambiamos
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{u}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u \cos{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{u \to 0^+} \cos{\left(u \right)} = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right) = \frac{5}{12}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{12 \left(\frac{25 x^{2}}{4} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{5}{12}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{5}{12}$$
=
$$\frac{5}{12}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{12 \left(\frac{25 x^{2}}{4} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{5}{12}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{5}{12}$$
=
$$\frac{5}{12}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ /5*x\\
|atan|---||
| \ 2 /|
lim |---------|
x->0+\ 6*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right)$$
5/12
$$\frac{5}{12}$$
= 0.416666666666667
/ /5*x\\
|atan|---||
| \ 2 /|
lim |---------|
x->0-\ 6*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right)$$
5/12
$$\frac{5}{12}$$
= 0.416666666666667
= 0.416666666666667
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right) = \frac{5}{12}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right) = \frac{5}{12}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{2} \right)}}{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{2} \right)}}{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right) = \frac{5}{12}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{2} \right)}}{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{2} \right)}}{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 x}{2} \right)}}{6 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo