Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+e^x)/x
-
Límite de x^2*log(x)
-
Límite de (3-sqrt(5+x))/(1-sqrt(5-x))
-
Límite de x^2
-
Expresiones idénticas
- (e^x+e^(- dos *x))/(x+e^x)
- (e en el grado x más e en el grado ( menos 2 multiplicar por x)) dividir por (x más e en el grado x)
- (e en el grado x más e en el grado ( menos dos multiplicar por x)) dividir por (x más e en el grado x)
- (ex+e(-2*x))/(x+ex)
- ex+e-2*x/x+ex
- (e^x+e^(-2x))/(x+e^x)
- (ex+e(-2x))/(x+ex)
- ex+e-2x/x+ex
- e^x+e^-2x/x+e^x
- (e^x+e^(-2*x)) dividir por (x+e^x)
-
Expresiones semejantes
- (e^x+e^(-2*x))/(x-e^x)
- (e^x+e^(2*x))/(x+e^x)
- (e^x-e^(-2*x))/(x+e^x)
Límite de la función (e^x+e^(-2*x))/(x+e^x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ x -2*x\
|E + E |
lim |----------|
x->oo| x |
\ x + E /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} + e^{- 2 x}}{e^{x} + x}\right)$$
Limit((E^x + E^(-2*x))/(x + E^x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{3 x} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{2 x} + e^{3 x}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} + e^{- 2 x}}{e^{x} + x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{3 x} + 1\right) e^{- 2 x}}{x + e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{3 x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x e^{2 x} + e^{3 x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 e^{3 x}}{2 x e^{2 x} + 3 e^{3 x} + e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 e^{3 x}}{2 x e^{2 x} + 3 e^{3 x} + e^{2 x}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{3 x} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{2 x} + e^{3 x}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} + e^{- 2 x}}{e^{x} + x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{3 x} + 1\right) e^{- 2 x}}{x + e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{3 x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x e^{2 x} + e^{3 x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 e^{3 x}}{2 x e^{2 x} + 3 e^{3 x} + e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 e^{3 x}}{2 x e^{2 x} + 3 e^{3 x} + e^{2 x}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} + e^{- 2 x}}{e^{x} + x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} + e^{- 2 x}}{e^{x} + x}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} + e^{- 2 x}}{e^{x} + x}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{x} + e^{- 2 x}}{e^{x} + x}\right) = \frac{- e + 1 + e^{2}}{e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{x} + e^{- 2 x}}{e^{x} + x}\right) = \frac{- e + 1 + e^{2}}{e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} + e^{- 2 x}}{e^{x} + x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} + e^{- 2 x}}{e^{x} + x}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} + e^{- 2 x}}{e^{x} + x}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{x} + e^{- 2 x}}{e^{x} + x}\right) = \frac{- e + 1 + e^{2}}{e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{x} + e^{- 2 x}}{e^{x} + x}\right) = \frac{- e + 1 + e^{2}}{e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} + e^{- 2 x}}{e^{x} + x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo