Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- x*log((cinco + dos *x)/(cuatro + dos *x))
- x multiplicar por logaritmo de ((5 más 2 multiplicar por x) dividir por (4 más 2 multiplicar por x))
- x multiplicar por logaritmo de ((cinco más dos multiplicar por x) dividir por (cuatro más dos multiplicar por x))
- xlog((5+2x)/(4+2x))
- xlog5+2x/4+2x
- x*log((5+2*x) dividir por (4+2*x))
-
Expresiones semejantes
- x*log((5+2*x)/(4-2*x))
- x*log((5-2*x)/(4+2*x))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(cos(3*x))/log(cos(4*x))
- log(-cos(x)+sin(x))
- log(2+sqrt(atan(x)*sin(1/x)))
- log(1+sin(2*x))/sin(3*x)
- log((1+x)/(1-x))/x
Límite de la función x*log((5+2*x)/(4+2*x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ /5 + 2*x\\ lim |x*log|-------|| x->oo\ \4 + 2*x//
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4} \right)}\right)$$
Limit(x*log((5 + 2*x)/(4 + 2*x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{2 x + 5}{2 \left(x + 2\right)} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{2 x + 5}{2 \left(x + 2\right)} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{2 x + 5}{2 \left(x + 2\right)} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{2 x}{2 x \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)}^{2} - 4 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)}^{2} + 5 \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)}^{2} - 10 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)} + 5 \log{\left(2 \right)}^{2}} - \frac{4}{2 x \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)}^{2} - 4 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)}^{2} + 5 \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)}^{2} - 10 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)} + 5 \log{\left(2 \right)}^{2}}\right) \left(- \frac{x}{x^{2} + 4 x + 4} - \frac{5}{2 \left(x^{2} + 4 x + 4\right)} + \frac{1}{x + 2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{2 x}{2 x \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)}^{2} - 4 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)}^{2} + 5 \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)}^{2} - 10 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)} + 5 \log{\left(2 \right)}^{2}} - \frac{4}{2 x \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)}^{2} - 4 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)}^{2} + 5 \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)}^{2} - 10 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)} + 5 \log{\left(2 \right)}^{2}}\right) \left(- \frac{x}{x^{2} + 4 x + 4} - \frac{5}{2 \left(x^{2} + 4 x + 4\right)} + \frac{1}{x + 2}\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{2 x + 5}{2 \left(x + 2\right)} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{2 x + 5}{2 \left(x + 2\right)} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{2 x + 5}{2 \left(x + 2\right)} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{2 x}{2 x \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)}^{2} - 4 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)}^{2} + 5 \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)}^{2} - 10 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)} + 5 \log{\left(2 \right)}^{2}} - \frac{4}{2 x \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)}^{2} - 4 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)}^{2} + 5 \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)}^{2} - 10 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)} + 5 \log{\left(2 \right)}^{2}}\right) \left(- \frac{x}{x^{2} + 4 x + 4} - \frac{5}{2 \left(x^{2} + 4 x + 4\right)} + \frac{1}{x + 2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{2 x}{2 x \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)}^{2} - 4 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)}^{2} + 5 \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)}^{2} - 10 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)} + 5 \log{\left(2 \right)}^{2}} - \frac{4}{2 x \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)}^{2} - 4 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)}^{2} + 5 \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)}^{2} - 10 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x + 2} \right)} + 5 \log{\left(2 \right)}^{2}}\right) \left(- \frac{x}{x^{2} + 4 x + 4} - \frac{5}{2 \left(x^{2} + 4 x + 4\right)} + \frac{1}{x + 2}\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4} \right)}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \log{\left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \log{\left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4} \right)}\right) = - \log{\left(6 \right)} + \log{\left(7 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \log{\left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4} \right)}\right) = - \log{\left(6 \right)} + \log{\left(7 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4} \right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \log{\left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \log{\left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4} \right)}\right) = - \log{\left(6 \right)} + \log{\left(7 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \log{\left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4} \right)}\right) = - \log{\left(6 \right)} + \log{\left(7 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(\frac{2 x + 5}{2 x + 4} \right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo