Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(5+x)-sqrt(10))/(-15+x^2-2*x)
-
Límite de (sqrt(1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x))/(x^2-x)
-
Expresiones idénticas
- ((cinco + dos *x)/(tres + dos *x))^(- uno + seis *x)
- ((5 más 2 multiplicar por x) dividir por (3 más 2 multiplicar por x)) en el grado ( menos 1 más 6 multiplicar por x)
- ((cinco más dos multiplicar por x) dividir por (tres más dos multiplicar por x)) en el grado ( menos uno más seis multiplicar por x)
- ((5+2*x)/(3+2*x))(-1+6*x)
- 5+2*x/3+2*x-1+6*x
- ((5+2x)/(3+2x))^(-1+6x)
- ((5+2x)/(3+2x))(-1+6x)
- 5+2x/3+2x-1+6x
- 5+2x/3+2x^-1+6x
- ((5+2*x) dividir por (3+2*x))^(-1+6*x)
-
Expresiones semejantes
- ((5+2*x)/(3+2*x))^(-1-6*x)
- ((5+2*x)/(3-2*x))^(-1+6*x)
- ((5-2*x)/(3+2*x))^(-1+6*x)
- ((5+2*x)/(3+2*x))^(1+6*x)
Límite de la función ((5+2*x)/(3+2*x))^(-1+6*x)
Solución
Ha introducido
[src]
-1 + 6*x
/5 + 2*x\
lim |-------|
x->oo\3 + 2*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1}$$
Limit(((5 + 2*x)/(3 + 2*x))^(-1 + 6*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 3\right) + 2}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 3} + \frac{2}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 3}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u - 10}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6} = e^{6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1} = e^{6}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 3\right) + 2}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 3} + \frac{2}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 3}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u - 10}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6} = e^{6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1} = e^{6}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1} = e^{6}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1} = \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1} = \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1} = \frac{16807}{3125}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1} = \frac{16807}{3125}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1} = e^{6}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1} = \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1} = \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1} = \frac{16807}{3125}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1} = \frac{16807}{3125}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{6 x - 1} = e^{6}$$
Más detalles con x→-oo