Sr Examen

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(1-2*cos(x))/sin(3*x)
Límite de la función/ cos(x)/ sin(3*x)/ (1-2*cos(x))/sin(3*x)

Límite de la función (1-2*cos(x))/sin(3*x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      /1 - 2*cos(x)\
 lim  |------------|
   pi \  sin(3*x)  /
x->--+              
   3
lim⁡x→π3+(1−2cos⁡(x)sin⁡(3x))\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(\frac{1 - 2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) 
Limit((1 - 2*cos(x))/sin(3*x), x, pi/3)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→π3+(1−2cos⁡(x))=0\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→π3+sin⁡(3x)=0\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+} \sin{\left(3 x \right)} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→π3+(1−2cos⁡(x)sin⁡(3x))\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(\frac{1 - 2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π3+(ddx(1−2cos⁡(x))ddxsin⁡(3x))\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - 2 \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(3 x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π3+(2sin⁡(x)3cos⁡(3x))\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{3 \cos{\left(3 x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π3+(−33)\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(- \frac{\sqrt{3}}{3}\right)
=
lim⁡x→π3+(−33)\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(- \frac{\sqrt{3}}{3}\right)
=
−33- \frac{\sqrt{3}}{3}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0-50000000000000005000000000000000
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
      /1 - 2*cos(x)\
 lim  |------------|
   pi \  sin(3*x)  /
x->--+              
   3
lim⁡x→π3+(1−2cos⁡(x)sin⁡(3x))\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(\frac{1 - 2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) 
   ___ 
-\/ 3  
-------
   3
−33- \frac{\sqrt{3}}{3} 
= -0.577350269189626
      /1 - 2*cos(x)\
 lim  |------------|
   pi \  sin(3*x)  /
x->---              
   3
lim⁡x→π3−(1−2cos⁡(x)sin⁡(3x))\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^-}\left(\frac{1 - 2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) 
   ___ 
-\/ 3  
-------
   3
−33- \frac{\sqrt{3}}{3} 
= -0.577350269189626
= -0.577350269189626
Respuesta rápida [src] 
   ___ 
-\/ 3  
-------
   3
−33- \frac{\sqrt{3}}{3}
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→π3−(1−2cos⁡(x)sin⁡(3x))=−33\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^-}\left(\frac{1 - 2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = - \frac{\sqrt{3}}{3}
Más detalles con x→pi/3 a la izquierda
lim⁡x→π3+(1−2cos⁡(x)sin⁡(3x))=−33\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(\frac{1 - 2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = - \frac{\sqrt{3}}{3}
lim⁡x→∞(1−2cos⁡(x)sin⁡(3x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - 2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−(1−2cos⁡(x)sin⁡(3x))=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - 2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \infty
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(1−2cos⁡(x)sin⁡(3x))=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - 2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = -\infty
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(1−2cos⁡(x)sin⁡(3x))=−−1+2cos⁡(1)sin⁡(3)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - 2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = - \frac{-1 + 2 \cos{\left(1 \right)}}{\sin{\left(3 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(1−2cos⁡(x)sin⁡(3x))=−−1+2cos⁡(1)sin⁡(3)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - 2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = - \frac{-1 + 2 \cos{\left(1 \right)}}{\sin{\left(3 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(1−2cos⁡(x)sin⁡(3x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - 2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
-0.577350269189626
-0.577350269189626
Gráfico
Límite de la función (1-2*cos(x))/sin(3*x)
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