Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 4^{x} + 5^{x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} + x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 4^{x} + 5^{x}}{x^{2} + x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 4^{x} + 5^{x}}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 4^{x} + 5^{x}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 2 \cdot 4^{x} \log{\left(2 \right)} + 5^{x} \log{\left(5 \right)}}{2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 2 \cdot 4^{x} \log{\left(2 \right)} + 5^{x} \log{\left(5 \right)}}{2 x + 1}\right)$$
=
$$- 2 \log{\left(2 \right)} + \log{\left(5 \right)}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)