Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de -6+8*x/3
-
Límite de ((1+x)/(-1+x))^x
-
Límite de (-1+(1+x)*(1+2*x)*(1+3*x))/x
-
Expresiones idénticas
- n*factorial(n)^(- uno /n)
- n multiplicar por factorial(n) en el grado ( menos 1 dividir por n)
- n multiplicar por factorial(n) en el grado ( menos uno dividir por n)
- n*factorial(n)(-1/n)
- n*factorialn-1/n
- nfactorial(n)^(-1/n)
- nfactorial(n)(-1/n)
- nfactorialn-1/n
- nfactorialn^-1/n
- n*factorial(n)^(-1 dividir por n)
-
Expresiones semejantes
- n*factorial(n)^(1/n)
-
Expresiones con funciones
- factorial
- factorial(1+x)/factorial(x)
- factorial(factorial(-1+2*x))/sqrt((2*n)^n)
- factorial(n)^2*Abs(factorial(2*3^(1+n)*(1+n))/(factorial(2*n*3^n)*factorial(1+n)^2))
- factorial(x)/sqrt(x)
- factorial(x)^(1/x)
Límite de la función n*factorial(n)^(-1/n)
Solución
Ha introducido
[src]
/ -1 \
| ---|
| n |
lim \n*n! /
n->oo
$$\lim_{n \to \infty}\left(n n!^{- \frac{1}{n}}\right)$$
Limit(n*factorial(n)^(-1/n), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} n = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n!^{\frac{1}{n}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(n n!^{- \frac{1}{n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n}{\frac{d}{d n} n!^{\frac{1}{n}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n!^{- \frac{1}{n}}}{\frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n n!} - \frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n!^{- \frac{1}{n}}}{\frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n n!} - \frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{2}}}\right)$$
=
$$e$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} n = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n!^{\frac{1}{n}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(n n!^{- \frac{1}{n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n}{\frac{d}{d n} n!^{\frac{1}{n}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n!^{- \frac{1}{n}}}{\frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n n!} - \frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n!^{- \frac{1}{n}}}{\frac{\Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n n!} - \frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{2}}}\right)$$
=
$$e$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(n n!^{- \frac{1}{n}}\right) = e$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(n n!^{- \frac{1}{n}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(n n!^{- \frac{1}{n}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(n n!^{- \frac{1}{n}}\right) = 1$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(n n!^{- \frac{1}{n}}\right) = 1$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(n n!^{- \frac{1}{n}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(n n!^{- \frac{1}{n}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(n n!^{- \frac{1}{n}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(n n!^{- \frac{1}{n}}\right) = 1$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(n n!^{- \frac{1}{n}}\right) = 1$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(n n!^{- \frac{1}{n}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→-oo