Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- cuatro *x/sin(cinco *x)
- 4 multiplicar por x dividir por seno de (5 multiplicar por x)
- cuatro multiplicar por x dividir por seno de (cinco multiplicar por x)
- 4x/sin(5x)
- 4x/sin5x
- 4*x dividir por sin(5*x)
-
Expresiones semejantes
- (-1-4*x+exp(4*x))/sin(5*x)^2
- (x+tan(4*x))/sin(5*x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)^2/(1+cos(x))
- sin(3*x)/(9*x)
- sin(3*x)/x^2
- sin(3*x)/sin(x)
- sin(x)/(x+tan(x))
Límite de la función 4*x/sin(5*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4*x \ lim |--------| x->0+\sin(5*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
Limit((4*x)/sin(5*x), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
Sustituimos
$$u = 5 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 u}{5 \sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\frac{4 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{5}$$
=
$$\frac{4 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}}{5}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{4}{5}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
Sustituimos
$$u = 5 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 u}{5 \sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\frac{4 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{5}$$
=
$$\frac{4 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}}{5}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{4}{5}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4 x\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(5 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 4 x}{\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4}{5 \cos{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{4}{5}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{4}{5}$$
=
$$\frac{4}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4 x\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(5 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 4 x}{\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4}{5 \cos{\left(5 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{4}{5}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{4}{5}$$
=
$$\frac{4}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 4*x \ lim |--------| x->0+\sin(5*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
4/5
$$\frac{4}{5}$$
= 0.8
/ 4*x \ lim |--------| x->0-\sin(5*x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
4/5
$$\frac{4}{5}$$
= 0.8
= 0.8
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{4}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{4}{5}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{4}{\sin{\left(5 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{4}{\sin{\left(5 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{4}{5}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{4}{\sin{\left(5 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right) = \frac{4}{\sin{\left(5 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico