Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de 1+1/x
-
Expresiones idénticas
- ((uno + tres *x)/(cuatro + tres *x))^(dos + tres *x)
- ((1 más 3 multiplicar por x) dividir por (4 más 3 multiplicar por x)) en el grado (2 más 3 multiplicar por x)
- ((uno más tres multiplicar por x) dividir por (cuatro más tres multiplicar por x)) en el grado (dos más tres multiplicar por x)
- ((1+3*x)/(4+3*x))(2+3*x)
- 1+3*x/4+3*x2+3*x
- ((1+3x)/(4+3x))^(2+3x)
- ((1+3x)/(4+3x))(2+3x)
- 1+3x/4+3x2+3x
- 1+3x/4+3x^2+3x
- ((1+3*x) dividir por (4+3*x))^(2+3*x)
-
Expresiones semejantes
- ((1+3*x)/(4+3*x))^(2-3*x)
- ((1-3*x)/(4+3*x))^(2+3*x)
- ((1+3*x)/(4-3*x))^(2+3*x)
Límite de la función ((1+3*x)/(4+3*x))^(2+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
2 + 3*x
/1 + 3*x\
lim |-------|
x->oo\4 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2}$$
Limit(((1 + 3*x)/(4 + 3*x))^(2 + 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 4\right) - 3}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{3 x + 4} + \frac{3 x + 4}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 4}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u - 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2} = e^{-3}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 4\right) - 3}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{3 x + 4} + \frac{3 x + 4}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 4}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u - 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2} = e^{-3}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2} = e^{-3}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2} = \frac{1024}{16807}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2} = \frac{1024}{16807}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2} = e^{-3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2} = \frac{1024}{16807}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2} = \frac{1024}{16807}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{3 x + 2} = e^{-3}$$
Más detalles con x→-oo