Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
-
Límite de (1+5/(3*x))^(2*x)
-
Límite de (-2+sqrt(4+x))/(-1+sqrt(1-x))
-
Límite de (-2-5*x^2+11*x)/(-10-x+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((uno + tres *x)/(cinco + tres *x))^(- uno / dos +x)
- ((1 más 3 multiplicar por x) dividir por (5 más 3 multiplicar por x)) en el grado ( menos 1 dividir por 2 más x)
- ((uno más tres multiplicar por x) dividir por (cinco más tres multiplicar por x)) en el grado ( menos uno dividir por dos más x)
- ((1+3*x)/(5+3*x))(-1/2+x)
- 1+3*x/5+3*x-1/2+x
- ((1+3x)/(5+3x))^(-1/2+x)
- ((1+3x)/(5+3x))(-1/2+x)
- 1+3x/5+3x-1/2+x
- 1+3x/5+3x^-1/2+x
- ((1+3*x) dividir por (5+3*x))^(-1 dividir por 2+x)
-
Expresiones semejantes
- ((1-3*x)/(5+3*x))^(-1/2+x)
- ((1+3*x)/(5-3*x))^(-1/2+x)
- ((1+3*x)/(5+3*x))^(-1/2-x)
- ((1+3*x)/(5+3*x))^(1/2+x)
Límite de la función ((1+3*x)/(5+3*x))^(-1/2+x)
Solución
Ha introducido
[src]
-1/2 + x
/1 + 3*x\
lim |-------|
x->oo\5 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}}$$
Limit(((1 + 3*x)/(5 + 3*x))^(-1/2 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 5\right) - 4}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{3 x + 5} + \frac{3 x + 5}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 5}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{3} - \frac{13}{6}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{3}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{13}{6}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{13}{6}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{4}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{4}{3}} = e^{- \frac{4}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}} = e^{- \frac{4}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 5\right) - 4}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{3 x + 5} + \frac{3 x + 5}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 5}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{3} - \frac{13}{6}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{3}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{13}{6}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{13}{6}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{4}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{4}{3}} = e^{- \frac{4}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}} = e^{- \frac{4}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}} = e^{- \frac{4}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}} = \sqrt{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}} = \sqrt{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}} = e^{- \frac{4}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}} = \sqrt{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}} = \sqrt{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 5}\right)^{x - \frac{1}{2}} = e^{- \frac{4}{3}}$$
Más detalles con x→-oo