Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{\log{\left(x \right)}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} 2^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{- x} x^{\log{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{\log{\left(x \right)}}}{\frac{d}{d x} 2^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 2^{- x} x^{\log{\left(x \right)} - 1} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 x^{\log{\left(x \right)} - 1} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}}{\frac{d}{d x} 2^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{- x} \left(\frac{4 x^{\log{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2} \log{\left(2 \right)}} - \frac{2 x^{\log{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)}}{x^{2} \log{\left(2 \right)}} + \frac{2 x^{\log{\left(x \right)}}}{x^{2} \log{\left(2 \right)}}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{- x} \left(\frac{4 x^{\log{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2} \log{\left(2 \right)}} - \frac{2 x^{\log{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)}}{x^{2} \log{\left(2 \right)}} + \frac{2 x^{\log{\left(x \right)}}}{x^{2} \log{\left(2 \right)}}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)