Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
- Límite de (-1+x^m)/(-1+x^n)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (tres *x^ cuatro + cinco *x^ dos)/(cinco +x^ cuatro + diez *x)
- (3 multiplicar por x en el grado 4 más 5 multiplicar por x al cuadrado ) dividir por (5 más x en el grado 4 más 10 multiplicar por x)
- (tres multiplicar por x en el grado cuatro más cinco multiplicar por x en el grado dos) dividir por (cinco más x en el grado cuatro más diez multiplicar por x)
- (3*x4+5*x2)/(5+x4+10*x)
- 3*x4+5*x2/5+x4+10*x
- (3*x⁴+5*x²)/(5+x⁴+10*x)
- (3*x en el grado 4+5*x en el grado 2)/(5+x en el grado 4+10*x)
- (3x^4+5x^2)/(5+x^4+10x)
- (3x4+5x2)/(5+x4+10x)
- 3x4+5x2/5+x4+10x
- 3x^4+5x^2/5+x^4+10x
- (3*x^4+5*x^2) dividir por (5+x^4+10*x)
-
Expresiones semejantes
- (3*x^4+5*x^2)/(5+x^4-10*x)
- (3*x^4-5*x^2)/(5+x^4+10*x)
- (3*x^4+5*x^2)/(5-x^4+10*x)
Límite de la función (3*x^4+5*x^2)/(5+x^4+10*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4 2 \
| 3*x + 5*x |
lim |-------------|
x->oo| 4 |
\5 + x + 10*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right)$$
Limit((3*x^4 + 5*x^2)/(5 + x^4 + 10*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{5}{x^{2}}}{1 + \frac{10}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{5}{x^{2}}}{1 + \frac{10}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u^{2} + 3}{5 u^{4} + 10 u^{3} + 1}\right)$$
=
$$\frac{5 \cdot 0^{2} + 3}{5 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} + 1} = 3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{5}{x^{2}}}{1 + \frac{10}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{5}{x^{2}}}{1 + \frac{10}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u^{2} + 3}{5 u^{4} + 10 u^{3} + 1}\right)$$
=
$$\frac{5 \cdot 0^{2} + 3}{5 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} + 1} = 3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 3$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(3 x^{2} + 5\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 10 x + 5\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(3 x^{2} + 5\right)}{x^{4} + 10 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2} \left(3 x^{2} + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 10 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{3} + 10 x}{4 x^{3} + 10}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{3} + 10 x}{4 x^{3} + 10}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(3 x^{2} + 5\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 10 x + 5\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(3 x^{2} + 5\right)}{x^{4} + 10 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2} \left(3 x^{2} + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 10 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{3} + 10 x}{4 x^{3} + 10}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{3} + 10 x}{4 x^{3} + 10}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 3$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{4} + 5 x^{2}}{10 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 3$$
Más detalles con x→-oo