Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-3+sqrt(8+x))/(-1+x)
-
Límite de 1/(-3+x)
-
Límite de ((3+x)/(-1+x))^(-4+x)
-
Límite de (-4+x^3-5*x^2+8*x)/(4+x^3-3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((nueve + tres *x)/(dos + tres *x))^(dos - siete *x)
- ((9 más 3 multiplicar por x) dividir por (2 más 3 multiplicar por x)) en el grado (2 menos 7 multiplicar por x)
- ((nueve más tres multiplicar por x) dividir por (dos más tres multiplicar por x)) en el grado (dos menos siete multiplicar por x)
- ((9+3*x)/(2+3*x))(2-7*x)
- 9+3*x/2+3*x2-7*x
- ((9+3x)/(2+3x))^(2-7x)
- ((9+3x)/(2+3x))(2-7x)
- 9+3x/2+3x2-7x
- 9+3x/2+3x^2-7x
- ((9+3*x) dividir por (2+3*x))^(2-7*x)
-
Expresiones semejantes
- ((9+3*x)/(2+3*x))^(2+7*x)
- ((9-3*x)/(2+3*x))^(2-7*x)
- ((9+3*x)/(2-3*x))^(2-7*x)
Límite de la función ((9+3*x)/(2+3*x))^(2-7*x)
Solución
Ha introducido
[src]
2 - 7*x
/9 + 3*x\
lim |-------|
x->oo\2 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x}$$
Limit(((9 + 3*x)/(2 + 3*x))^(2 - 7*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 2\right) + 7}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 2}{3 x + 2} + \frac{7}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{7}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 2}{7}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{7}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{20}{3} - \frac{49 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{20}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{49 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{20}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{49 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{49 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{49}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{49}{3}} = e^{- \frac{49}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x} = e^{- \frac{49}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 2\right) + 7}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 2}{3 x + 2} + \frac{7}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{7}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 2}{7}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{7}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{20}{3} - \frac{49 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{20}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{49 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{20}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{49 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{49 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{49}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{49}{3}} = e^{- \frac{49}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x} = e^{- \frac{49}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x} = e^{- \frac{49}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x} = \frac{81}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x} = \frac{81}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x} = \frac{3125}{248832}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x} = \frac{3125}{248832}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x} = e^{- \frac{49}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x} = \frac{81}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x} = \frac{81}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x} = \frac{3125}{248832}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x} = \frac{3125}{248832}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 9}{3 x + 2}\right)^{2 - 7 x} = e^{- \frac{49}{3}}$$
Más detalles con x→-oo