Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - x^{2} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4^{x} x + 4^{x}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{- x} \left(- x^{2} + \left(x^{4} + 1\right)\right)}{x + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{- x} \left(x^{4} - x^{2} + 1\right)}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(4^{x} x + 4^{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} - 2 x}{4^{x} x \log{\left(4 \right)} + 4^{x} + 4^{x} \log{\left(4 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} - 2 x}{4^{x} x \log{\left(4 \right)} + 4^{x} + 4^{x} \log{\left(4 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)