Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2*x^2+2*x^3)/(-4*x^2+5*x^3)
-
Límite de (-2+x)/(-2+sqrt(2)*sqrt(x))
-
Límite de (1-cos(x)^2)/(x^2-sin(x)^2)
-
Límite de (sqrt(2-x)-sqrt(6+x))/(-6+x^2-x)
-
Expresiones idénticas
- ((cinco + tres *x)/(- uno + tres *x))^(tres +x)
- ((5 más 3 multiplicar por x) dividir por ( menos 1 más 3 multiplicar por x)) en el grado (3 más x)
- ((cinco más tres multiplicar por x) dividir por ( menos uno más tres multiplicar por x)) en el grado (tres más x)
- ((5+3*x)/(-1+3*x))(3+x)
- 5+3*x/-1+3*x3+x
- ((5+3x)/(-1+3x))^(3+x)
- ((5+3x)/(-1+3x))(3+x)
- 5+3x/-1+3x3+x
- 5+3x/-1+3x^3+x
- ((5+3*x) dividir por (-1+3*x))^(3+x)
-
Expresiones semejantes
- ((5+3*x)/(-1+3*x))^(3-x)
- ((5-3*x)/(-1+3*x))^(3+x)
- ((5+3*x)/(-1-3*x))^(3+x)
- ((5+3*x)/(1+3*x))^(3+x)
Límite de la función ((5+3*x)/(-1+3*x))^(3+x)
Solución
Ha introducido
[src]
3 + x
/5 + 3*x \
lim |--------|
x->oo\-1 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3}$$
Limit(((5 + 3*x)/(-1 + 3*x))^(3 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x - 1\right) + 6}{3 x - 1}\right)^{x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 1}{3 x - 1} + \frac{6}{3 x - 1}\right)^{x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{6}{3 x - 1}\right)^{x + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x - 1}{6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{6}{3 x - 1}\right)^{x + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + \frac{10}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{10}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{10}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x - 1\right) + 6}{3 x - 1}\right)^{x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 1}{3 x - 1} + \frac{6}{3 x - 1}\right)^{x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{6}{3 x - 1}\right)^{x + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x - 1}{6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{6}{3 x - 1}\right)^{x + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + \frac{10}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{10}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{10}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3} = e^{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3} = -125$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3} = -125$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3} = 256$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3} = 256$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3} = -125$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3} = -125$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3} = 256$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3} = 256$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 5}{3 x - 1}\right)^{x + 3} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo