Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(x)^2)/(x^2-sin(x)^2)
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (3-sqrt(x))/(4-sqrt(-2+2*x))
-
Expresiones idénticas
- (dos +x^ cuatro)/(x+ tres *x^ cuatro)
- (2 más x en el grado 4) dividir por (x más 3 multiplicar por x en el grado 4)
- (dos más x en el grado cuatro) dividir por (x más tres multiplicar por x en el grado cuatro)
- (2+x4)/(x+3*x4)
- 2+x4/x+3*x4
- (2+x⁴)/(x+3*x⁴)
- (2+x^4)/(x+3x^4)
- (2+x4)/(x+3x4)
- 2+x4/x+3x4
- 2+x^4/x+3x^4
- (2+x^4) dividir por (x+3*x^4)
-
Expresiones semejantes
- (2+x^4)/(x-3*x^4)
- (2-x^4)/(x+3*x^4)
Límite de la función (2+x^4)/(x+3*x^4)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4 \
| 2 + x |
lim |--------|
x->oo| 4|
\x + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right)$$
Limit((2 + x^4)/(x + 3*x^4), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x^{4}}}{3 + \frac{1}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x^{4}}}{3 + \frac{1}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u^{4} + 1}{u^{3} + 3}\right)$$
=
$$\frac{2 \cdot 0^{4} + 1}{0^{3} + 3} = \frac{1}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x^{4}}}{3 + \frac{1}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x^{4}}}{3 + \frac{1}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u^{4} + 1}{u^{3} + 3}\right)$$
=
$$\frac{2 \cdot 0^{4} + 1}{0^{3} + 3} = \frac{1}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right) = \frac{1}{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2}{x}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{3} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2}{x \left(3 x^{3} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{4} + 2}{x}}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{3} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - \frac{2}{x^{2}}}{9 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - \frac{2}{x^{2}}}{9 x^{2}}\right)$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2}{x}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{3} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2}{x \left(3 x^{3} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{4} + 2}{x}}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{3} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - \frac{2}{x^{2}}}{9 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - \frac{2}{x^{2}}}{9 x^{2}}\right)$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} + 2}{3 x^{4} + x}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→-oo