Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((-7+2*x^2+21*x)/(9+2*x^2+18*x))^(1+2*x)
-
Límite de ((2+2*x^2)/(1+2*x^2))^(x^2)
-
Límite de (2-cos(3*x))^(1/log(1+x^2))
-
Límite de (2-4*x)/(sqrt(x)-sqrt(2)/2)
-
Expresiones idénticas
- (- dos + cuatro ^x+ cuatro ^(-x))/x^ dos
- ( menos 2 más 4 en el grado x más 4 en el grado ( menos x)) dividir por x al cuadrado
- ( menos dos más cuatro en el grado x más cuatro en el grado ( menos x)) dividir por x en el grado dos
- (-2+4x+4(-x))/x2
- -2+4x+4-x/x2
- (-2+4^x+4^(-x))/x²
- (-2+4 en el grado x+4 en el grado (-x))/x en el grado 2
- -2+4^x+4^-x/x^2
- (-2+4^x+4^(-x)) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (-2-4^x+4^(-x))/x^2
- (2+4^x+4^(-x))/x^2
- (-2+4^x-4^(-x))/x^2
- (-2+4^x+4^(x))/x^2
Límite de la función (-2+4^x+4^(-x))/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ x -x\
|-2 + 4 + 4 |
lim |-------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(4^{x} - 2\right) + 4^{- x}}{x^{2}}\right)$$
Limit((-2 + 4^x + 4^(-x))/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4^{2 x} - 2 \cdot 4^{x} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4^{x} x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(4^{x} - 2\right) + 4^{- x}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4^{- x} \left(4^{x} \left(4^{x} - 2\right) + 1\right)}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4^{2 x} - 2 \cdot 4^{x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} 4^{x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot 4^{2 x} \log{\left(4 \right)} - 2 \cdot 4^{x} \log{\left(4 \right)}}{4^{x} x^{2} \log{\left(4 \right)} + 2 \cdot 4^{x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot 4^{2 x} \log{\left(4 \right)} - 2 \cdot 4^{x} \log{\left(4 \right)}}{4^{x} x^{2} \log{\left(4 \right)} + 2 \cdot 4^{x} x}\right)$$
=
$$4 \log{\left(2 \right)}^{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4^{2 x} - 2 \cdot 4^{x} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4^{x} x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(4^{x} - 2\right) + 4^{- x}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4^{- x} \left(4^{x} \left(4^{x} - 2\right) + 1\right)}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4^{2 x} - 2 \cdot 4^{x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} 4^{x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot 4^{2 x} \log{\left(4 \right)} - 2 \cdot 4^{x} \log{\left(4 \right)}}{4^{x} x^{2} \log{\left(4 \right)} + 2 \cdot 4^{x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot 4^{2 x} \log{\left(4 \right)} - 2 \cdot 4^{x} \log{\left(4 \right)}}{4^{x} x^{2} \log{\left(4 \right)} + 2 \cdot 4^{x} x}\right)$$
=
$$4 \log{\left(2 \right)}^{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ x -x\
|-2 + 4 + 4 |
lim |-------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(4^{x} - 2\right) + 4^{- x}}{x^{2}}\right)$$
2 4*log (2)
$$4 \log{\left(2 \right)}^{2}$$
= 1.92181205567281
/ x -x\
|-2 + 4 + 4 |
lim |-------------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(4^{x} - 2\right) + 4^{- x}}{x^{2}}\right)$$
2 4*log (2)
$$4 \log{\left(2 \right)}^{2}$$
= 1.92181205567281
= 1.92181205567281
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(4^{x} - 2\right) + 4^{- x}}{x^{2}}\right) = 4 \log{\left(2 \right)}^{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(4^{x} - 2\right) + 4^{- x}}{x^{2}}\right) = 4 \log{\left(2 \right)}^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4^{x} - 2\right) + 4^{- x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(4^{x} - 2\right) + 4^{- x}}{x^{2}}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(4^{x} - 2\right) + 4^{- x}}{x^{2}}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4^{x} - 2\right) + 4^{- x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(4^{x} - 2\right) + 4^{- x}}{x^{2}}\right) = 4 \log{\left(2 \right)}^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4^{x} - 2\right) + 4^{- x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(4^{x} - 2\right) + 4^{- x}}{x^{2}}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(4^{x} - 2\right) + 4^{- x}}{x^{2}}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4^{x} - 2\right) + 4^{- x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo