Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- (uno -x^ dos + cuatro *x)/(x*(uno +x))
- (1 menos x al cuadrado más 4 multiplicar por x) dividir por (x multiplicar por (1 más x))
- (uno menos x en el grado dos más cuatro multiplicar por x) dividir por (x multiplicar por (uno más x))
- (1-x2+4*x)/(x*(1+x))
- 1-x2+4*x/x*1+x
- (1-x²+4*x)/(x*(1+x))
- (1-x en el grado 2+4*x)/(x*(1+x))
- (1-x^2+4x)/(x(1+x))
- (1-x2+4x)/(x(1+x))
- 1-x2+4x/x1+x
- 1-x^2+4x/x1+x
- (1-x^2+4*x) dividir por (x*(1+x))
-
Expresiones semejantes
- (1-x^2-4*x)/(x*(1+x))
- (1+x^2+4*x)/(x*(1+x))
- (1-x^2+4*x)/(x*(1-x))
Límite de la función (1-x^2+4*x)/(x*(1+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|1 - x + 4*x|
lim |------------|
x->-oo\ x*(1 + x) /
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
Limit((1 - x^2 + 4*x)/((x*(1 + x))), x, -oo)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-1 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-1 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} + 4 u - 1}{u + 1}\right)$$
=
$$\frac{-1 + 0^{2} + 0 \cdot 4}{1} = -1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-1 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-1 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} + 4 u - 1}{u + 1}\right)$$
=
$$\frac{-1 + 0^{2} + 0 \cdot 4}{1} = -1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = -1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + 4 x + 1\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 4 x + 1}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 4 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 - 2 x}{2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 - 2 x}{2 x + 1}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + 4 x + 1\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 4 x + 1}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 4 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 - 2 x}{2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 - 2 x}{2 x + 1}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x + \left(1 - x^{2}\right)}{x \left(x + 1\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha